2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 17:44 
Как доказать:
$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot  \ln(\ln(n))$ :?:

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 17:56 
Аватара пользователя
Рассмотреть функцию
$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$
и вычислить её производную. Дальше подход стандартный.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 19:35 
Мелочь, но нужно добавить: $n\ge 3$.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 20:33 
cool.phenon в сообщении #748638 писал(а):
Рассмотреть функцию
$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$
и вычислить её производную. Дальше подход стандартный.


$$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

и далее :oops:

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 20:44 
Далее нужно доказывать, что функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)>0$ при $x>x_0$.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 21:09 
megamix62 в сообщении #748636 писал(а):
Как доказать:
$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot  \ln(\ln(n))$ :?:



Что-то не врублюсь...мне надо доказать

$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot  \ln(\ln(n))$ :? :oops:

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 21:12 
Что равносильно $f(n+1)<f(n)$.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение24.07.2013, 00:39 
Sonic86 в сообщении #748700 писал(а):
$f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)>0$
$f'(x)<0$

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение24.07.2013, 08:10 
Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно. Максимум функции $y(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$ выражается через функцию Ламберта:
$$
x_{max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312,
$$
так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство верно, причём только начиная с $n\ge6$!

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение24.07.2013, 10:57 
sergei1961 в сообщении #748799 писал(а):
Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно.

Если бы она не была целочисленной, то с Вами можно было бы согласиться. А так: ясно, что начиная с некоторой точки производная становится отрицательной, причем навсегда, а что это за точка (в целых числах), легко установить перебором.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение31.07.2013, 07:23 
Спасибо Вам Всем !

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group