Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно. Максимум функции

выражается через функцию Ламберта:

так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство верно, причём только начиная с

!