"Секретное" свойство степенных рядов

[EvgenB]

Часто и с удовольствием пользуюсь одним универсальным свойством формальных степенных рядов, но ни рузу не встречал его явного описания в литературе. Мне такое умолчание кажется загадочным, отсюда название темы.
Об обобщенном биномиальном ряде я впервые прочел в относительно недавней книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Поташника "Конкретная математика", Мир, 1998, стр. 228 (в "Комбинаторных тождествах" Риордана обобщенный биномиальный ряд представлен несколькими равенствами, но не выделяется на общем фоне). Но и в "Конкретной математике" обобщенный биномиальный и обобщенный экспоненциальный ряд представлены как некие диковинки, а не как примеры обобщения степенного ряда, основанного на разложении в ряд Лагранжа. Речь идет о следующем обобщении.
С каждым формальным рядом

$$a(x), \;a(0)=1, \;a^\alpha(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n^\alpha}x^n$$

посредством преобразования Лагранжа связано множество рядов

$$_{(\beta)}a(x),\; _{(0)}a(x)=a(x),$$

таких, что

$$\left(1+x\beta(log_{(\beta)}a(x))'\right)_{(\beta)}a^\alpha(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n^{\alpha+\beta{n}}}x^n,$$

$$_{(\beta)}a^\alpha(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac\alpha{\alpha+\beta{n}}}a_n^{\alpha+\beta{n}}x^n,$$

$$a\left(x_{(\beta)}a^\beta(x)\right)= _{(\beta)}a(x),\quad_{(\beta)}a\left(xa^{-\beta}(x)\right)=a(x).$$

Отметим, что если

$$a(q(x))=e^x,$$

то

$$_{(\beta)}a\left(q(x)e^{-\beta{x}}\right)=e^x.$$

Например,

$$a(x)=(1+2x)^{\frac12},\quad_{(1)}a(x)=x+(1+x^2)^{\frac12},$$

$$a\left(\frac{e^{2x}-1}2\right)=e^x,\quad_{(1)}a\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)=e^x.$$

По идее, рассмотренное свойство (обобщение, операция) должно как-то называться. Например, $a^\alpha(x)$ - это $a(x)$ в степени $\alpha.$ А как называется $_{(\beta)}a(x)$ по отношению к $a(x)$ ?

[sergei1961]

Называется свёрткой Адамара двух степенных рядов.

[EvgenB]

Насколько я знаю, сверткой Адамара рядов $\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n}x^n$ и $\sum\limits_{n=0}^\infty{b_n}x^n$ называется ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty{a_nb_n}x^n.$ Но к моему вопросу это отношения не имеет. По-моему, Вы поспешили с ответом.

[EvgenB]

Попробую сделать свой вопрос более наглядным. Думаю, это будет не лишним, так как сам вопрос возник из подозрения, что общепринятого ответа на него не существует.
Договоримся не делать разницы между формальным степенным рядом и последовательностью его коэффициентов. Представим бесконечную таблицу $\left[a^p(x)\right]_0$, k-й строкой которой (k - целое число), является ряд

$$a^{pk}(x),\;a_0=1,\;a_1=1,\;p>0.$$

Каждую строку таблицы заменим восходящей диагональю, имеющей со строкой общий свободный член. Полученную таблицу обозначим $[a^p(x)]_1.$ С таблицей $[a^p(x)]_1$ проделаем ту же операцию, результат обозначим $[a^p(x)]_2.$ С таблицей $[a^p(x)]_2$ проделаем ту же операцию, и т. д.
Каждую строку таблицы $[a^p(x)]_0$ заменим нисходящей диагональю, имеющей со строкой общий свободный член. Полученную таблицу обозначим $[a^p(x)]_{-1}$. С таблицей $[a^p(x)]_{-1}$ проделаем ту же операцию, и т. д.
Оказывается, k-й строкой таблицы $[a^p(x)]_v$ (v - целое число), является ряд

$$\left(1+xvp(log_{(vp)}a(x))'\right)_{(vp)}a^{pk}(x),$$

где

$$a\left(x_{(vp)}a^{vp}(x)\right)=_{(vp)}a(x),\quad _{(vp)}a\left(xa^{-vp}(x)\right)=a(x),$$

$$a(x)=_{(0)}a(x).$$

Это можно вывести из формулы разложения в ряд Лагранжа для произвольных формальных степенных рядов $f(x)$ и $b(x)$

$$\frac{f(x)}{1-x(log{b(x)})'}=\sum\limits_{n=0}^\infty{x^n}b^{-n}(x)\frac1{n!}{|D^n(f(x)b^n(x)|_{x=0}}$$

(выражение $\frac1{n!}{|D^n(f(x)b^n(x)|_{x=0}$ означает n-й коэффициент ряда $f(x)b^n(x)$),если учесть, что k-я строка таблицы $[a^{np}(x)]_1$ совпадает с nk-й строкой таблицы $[a^p(x)]_n$, k-я строка таблицы $[a^{np}(x)]_{-1}$ совпадает с nk-й строкой таблицы $[a^p(x)]_{-n}.$
В некоторых исключительных случаях ряды, полученные описанным способом, выражаются аналитически. Например, если $a(x)=1+x$, то

$$_{(1)}a(x)=(1-x)^{-1},\quad_{(2)}a(x)=\left(\frac{1+(1-4x)^\frac12}2\right)^{-1},$$

$$_{(-1)}a(x)=\frac{1+(1+4x)^\frac12}2,\quad_{(\frac12)}a(x)=\left(\frac{x}2+\left(1+\frac{x^2}4\right)^\frac12\right)^2.$$

Для любого ряда $a(x), \;a_0=1,\;a_1,=1$ , можно представить его степень в виде

$$a^\alpha(x)=1+\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{\alpha{u_n(\alpha)}}{n!}x^n,$$

где $xu_n(x)$ - последовательность полиномов, называемая биномиальной последовательностью. Оказывается, что

$$_{(\beta)}a^\alpha(x)=1+\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{\alpha{u_n(\alpha+{n\beta})}}{n!}x^n.$$

Например,

$$a(x)=1+x,$$

$$_{(\beta)}a^\alpha(x)=1+{\alpha}x+\sum\limits_{n=2}^\infty{\frac{x^n}{n!}\prod\limits_{m=1}^{n-1}(\alpha+{n\beta}-m);$$

$$a(x)=e^x,$$

$$_{(\beta)}a^\alpha(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\alpha(\alpha+{n\beta})^{n-1}}{n!}x^n.$$

В двух последних случаях ряд $_{(\beta)}a(x)$ называется обобщенным биномиальным и обобщенным экспоненциальным рядом. Так как для общего случая названия нет, возникает подозрение, что он никогда и не рассматривался.

[sergei1961]

По-моему у Вас это как раз свёртка Адамара исходного ряда

$$ \sum a_n^\alpha x^n $$

и второго ряда

$$ \sum \frac{\alpha}{\alpha+n\beta}a_n^{\beta_n}x^n. $$

Это и есть названное по имени преобразование, которое проделано над исходным рядом.

В дробном интгродифференцировании есть такой подход-через ряды в комплексной плоскости. Там свертка Адамара называется операторами Гельфонда-Леонтьева. В Ваших последних примерах мультипликаторы, на которые умножаются исходные коэффициенты ряда, можно выразить через гамма-функции. В этом случае принято говорить оператор Джрбашяна-Гельфонда-Леонтьева. Сами функции из последних двух примеров являются обобщёнными функциями Миттаг-Лефлера, они уже имеют названия и давно, других им не надо, наверное...

[EvgenB]

Любой ряд можно назвать сверткой Адамара, представив его коэффициенты в виде произведения. Но суть-то не в этом. Свертка - это операция с двумя рядами. В моем же случае в каждой операции принимает участие бесконечное множество степеней одного и того же ряда. Ее можно сравнить с поворотом в пространстве степенных рядов, базисом которого являются целочисленные степени определенного ряда. Суть же ее в последовательных применениях преобразования Лагранжа.
С обобщенным биномиальным и обобщенным экспоненциальным рядом я встречался единственный раз в книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О.Поташника "Конкретная математика", Мир, 1998, стр. 228. Если они встречались Вам под другим названием, дайте, пожалуйста, ссылки.

[EvgenB]

Не думаю, что функции Миттаг-Лефлера имеют отношение к моему вопросу.
Обобщенная показательная функция Миттаг-Лефлера имеет вид

$$E_\beta(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{\Gamma(1+n\beta)},$$

где $\Gamma(x)$ - гамма-функция; обобщенный экспоненциальный ряд имеет вид

$$E_\beta(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{(1+n\beta)^{n-1}x^n}{n!}.$$

Если представить экспоненту в виде

$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{\Gamma(1+n)}},$$

видно, что в первом и втором случае обобщения идут в разных направлениях. Внешняя схожесть механизмов обобщения может о чем-то и говорит, но уводит в сторону от темы.

[sergei1961]

Про свёртку Адамара-согласен, что всё можно. Вы спросили "рассмотренное свойство (обобщение, операция) должно как-то называться?", я указал один из вариантов названия, без претензий на большее.

Обычная функция Миттаг--Леффлера сейчас определяется обычно так:

$$ E_{a,b}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{\Gamma(ak+b)}. $$

Раньше следуя Миттаг--Леффлеру и потом Джрбашяну один индекс переворачивали, но теперь принято обозначать более логично как написано, например, так обозначено в NIST и на Вольфраме, в современных книгах. Старое обозначение удобнее в КП, и до сих пор используется там, так как тогда порядок целой функции неперевёрнутый, хотя коэффициенты перевёрнутые, например такое старинное обозначение сохранено в современных работах Попов-Седлецкий. Миттаг-Леффлер ввёл эту функцию в связи с придуманным им методом обобщённого суммирования рядов, а самое знаменитое приложение эта функция получила в работе Хилле-Тамаркин, где через неё было выражено ядро резольвенты дробного интеграла (на современном языке). Кстати, все серийные дома в СССР были построены с помощью функции Миттаг-Леффлера, так как механик академик Работнов переоткрыл эту функцию и результат Хилле-Тамаркина, придворные назвали её тут же функцией Работнова, но к его чести он построил с использованием функции какую-то свою теорию ползучести-пластичности, в чём я не понимаю, но что точно знаю, что эта теория была доведена до уровня расчётных таблиц, которые в обязательном порядке использовались в строительстве при расчёте прочности зданий.

Но это только начало обобщений. Уже в книге Бейтмен-Эрдейи в качестве обобщений гипергеометрической функции приведён ряд Райта, это когда сколько угодно в коэффициентах гамма-функций сверху и снизу. В современных обозначениях принято определять обобщённые функции Райта так:

$$ _{p}\Psi_{q}((A_1,b_1),\ldots;(C_1,d_1),\ldots,x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Gamma(A_{1} k+b_1)\ldots}{\Gamma(C_{1} k+d_1)\ldots}x^k, $$

$p$ гамм сверху, $q$ снизу.
Тогда ряд, который назван обобщенным биномиальным если не ошибся, после выражения произведения как частного двух гамма-функций, есть обобщённая функция Райта

$$ _{1}\Psi_{2}((\beta,\alpha);(\beta-1,\alpha+1),(1,1),x). $$

Тут есть всякие терминологические расхождения, скажем, если все гаммы снизу, то говорят обобщённая функция Миттаг--Леффлера, есть названные по имени несуществовавших людей артефакты типа Бесселя-Мейтленда, иногда выделяют гипербесселевы или обобщённые бесселевы функции, но в основном победила указанная терминология. Есть хорошие статьи Вирджинии Киряковой, где это хорошо рассклассифицировано, ну и книги.

И конечно вместо рядов можно танцевать в образах Меллина, где образ тоже частное наборов произведений гамма-функций. Такие функции называются функциями Фокса, есть алгоритмы как переписать зная наборы параметров Фоксы в Райты и наоборот. Это будет ещё одно обозначение и название для этой функции.

Со второй функцией посложнее, так как там число гамм в каждом слагаемом меняется из-за степени. Если есть желание всё равно выразить эту функцию через известные, то нужно степень разложить по биному и получится двойной ряд-одна из гипергеометрических функций Горна двух переменных, один аргумент будет 1, другой $x$. Нужно посчитать, что там получится, их россыпь рядов Горна: функции Аппеля, Лауричеллы, Кампе де Ферье, словом много. Главное, что отношение коэффициентов есть рациональная функция параметров суммирования-значит это точно один из гипергеометрических рядов Горна.

Как замечание добавлю, что ни разу не встречал, чтобы в исследованиях по комбинаторике возникли новые специальные функции, если авторы ставили задачу сравнить их с известными. Хотя в ней конечно много всего полезного для всех, чем бы кто не занимался.

[sergei1961]

Кстати ряд, названный обобщённым экспоненциальным, не похож на экспоненту в самом главном-он не везде сходится!

[EvgenB]

Я по убеждениям алгебраист, Вы, по всей видимости, аналитик. Поэтому разногласия между нами, наверное, неизбежны.
Хочу вернуться к обобщенному биномиальному и обобщенному экспоненциальному ряду и объяснить, что "обобщение" не самый удачный для них термин.

$$_{(\beta)}a^\alpha(x)=1+\alpha{x}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{\alpha{x^n}}{n!}\prod_{m=1}^{n-1}(\alpha+n\beta-m),\quad_{(0)}a(x)=1+x.$$

Уникальность ряда $_{(\beta)}a(x)$ заключается в равенстве

$$_{(\beta)}a(x)-1=x_{(\beta)}a^\beta(x).$$

Ряд, обратный к $\log_{(\beta)}a(x)$ относительно композиции, обозначим $_{(\beta)}q(x):\;_{(\beta)}q(\log_{(\beta)}a(x))=x.$ Тогда

$$_{(\beta)}q(x)=(e^x-1)e^{-\beta{x}};$$

$$_{(\beta)}b^\alpha(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n\beta)^{n-1}}{n!}x^n,\quad_{(0)}b(x)=e^x.$$

Уникальность ряда $_{(\beta)}b(x)$ заключается в равенстве

$$\log_{(\beta)}b(x)=x_{(\beta)}b^\beta(x).$$

Если $_{(\beta)}q(\log_{(\beta)}b(x))=x,$ то

$$_{(\beta)}q(x)=xe^{-\beta{x}}.$$

Ряд $_{(\beta)}b^\alpha(x)$ является предельным случаем ряда

$$_{(v\beta)}a^{v\alpha}(x/v)=1+\alpha{x}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{x^n}{v^n}\frac{v\alpha}{n!}\prod\limits_{m=1}^{n-1}(v\alpha+nv\beta-m),$$

когда v стремится к бесконечности.
Существуют различные обобщения биномиального и экспоненциального ряда, но в данном случае никто ничего не обобщал. Ряды $_{(\beta)}a(x),_{(\beta)}b(x),$ как и ранее ряды $_{(0)}a(x),_{(0)}b(x),$ неоднократно открывались и переоткрывались. Это целостные объекты в том виде, в котором и должны изучаться, а привычные нам биномиальный и экспоненциальный ряд - их основные проекции.
Почему математики неохотно вспоминают об этих рядах? Думаю, они просто не знают куда их пристроить. Между алгеброй и анализом существует незаполненный промежуток, который в свое время проскочили на волне успеха, а теперь никто не хочет возвращаться назад.
Кстати, когда речь заходит о формальных степенных рядах, как правило, тут же вспоминают комбинаторику. Комбинаторика - это смысловая нагрузка, навязанная алгебре формальных степенных рядов, без которой та чувствовала бы себя свободней.

[EvgenB]

Попробую еще раз осветить свой вопрос, на этот раз со стороны теории биномиальных последовательностей. Мне придется доказывать некоторые утверждения, так как остается подозрение, что излагаемый материал не является общеизвестным.
В пространстве формальных степенных рядов два основные преобразования - умножение рядов и подстановка (композиция) - задаются бесконечными матрицами определенного вида. Мы договорились не делать разницы между формальным рядом и последовательностью его коэффициентов, поэтому строки и столбцы матриц будем называть полиномами и рядами. Матрицу, n-м столбцом которой (n=0, 1, 2,...) является ряд $x^na(x)$, обозначим $[a(x)].$ Матрицу, n-м столбцом которой является n-я степень $a(x)$, обозначим $\left<a(x)\right>.$ Первая матрица соответствует умножению рядов, вторая - подстановке:

$$[a(x)]b(x)=a(x)b(x),\quad\left<a(x)\right>b(x)=b(a(x)).$$

Договоримся не делать разницы между матрицами и соответствующими им преобразованиями. Если $a_0\neq0$, в область определения преобразования $\left<a(x)\right>$ входят только конечные ряды, т.е. полиномы.
Диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны коэффициентам ряда $e^x$, обозначим $|e^x|$: $|e^x|a(x)=\sum{a_nx^n/n!}$, $|e^x|^{-1}a(x)=\sum{n!a_nx^n}$. Последовательности строк матриц

$$|e^x|^{-1}[a(x)]|e^x|,\;a_0\neq0;\quad|e^x|^{-1}\left<a(x)\right>|e^x|, a_0=0, a_1\neq0$$

называются соответственно аппелевой и биномиальной последовательностью. Преобразование $\left<x+a\right>$ называется оператором сдвига на $a$(можно просто оператором сдвига) и обычно обозначается $E^a$. Матрица оператора сдвига обладает важным свойством: транспонированную к ней матрицу можно рассматривать одновременно и как трансформацию матрицы умножения, и как произведение матриц умножения и подстановки:

$$\left(E^a\right)^t=|e^x|^{-1}[e^{ax}]|e^x|=\left[\frac1{1-ax}\right]\left<\frac{x}{1-ax}\right>.$$

Как мы увидим, это свойство оператора сдвига имеет прямое отношение к рассматриваемому вопросу.
С каждым рядом

$$a(x), a_0=1, a_1=1,\quad{a^\alpha(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n^\alpha{x^n}}$$

посредством преобразования Лагранжа связано множество рядов $_{(\beta)}a(x)$, $_{(0)}a(x)=a(x)$, таких, что

$$\left(1+x\beta(\log_{(\beta)}a(x))'\right){_{(\beta)}a^\alpha(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n^{\alpha+n\beta}}x^n,$$

$$a\left(x_{(\beta)}a^\beta(x)\right)=_{(\beta)}a(x),\quad_{(\beta)}a\left(xa^{-\beta}(x)\right),$$

или

$$\left<x_{(\beta)}a^\beta(x)\right>^{-1}=\left<xa^{-\beta}(x)\right>.$$

Пусть

$$a(q(x))=e^x,\quad\left<\log{a(x)}\right>^{-1}=\left<q(x)\right>.$$

Так как

$$\exp\left(\log{a}\left(_{(\beta)}a^\beta(x)\right)\right)=\exp\left(\log_{(\beta)}a(x)\right)=_{(\beta)}a(x),$$

то

$$_{(\beta})a\left(q(x)a^{-\beta}(q(x))\right)=_{(\beta)}a\left(q(x)e^{-\beta{x}}\right)=e^x,$$

или

$$\left<\log_{(\beta)}a(x)\right>^{-1}=\left<q(x)e^{-\beta{x}}\right>.$$

(Окончание следует)

[EvgenB]

(Окончание)
Напомним, что в алгебре формальных степенных рядов ряд $\log{a(x)}$ определяется равенством

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(\log{a(x)})^n}{n!}=a(x).$$

n-ю строку матрицы $|e^x|^{-1}\left<\log{a(x)}\right>|e^x|$ обозначим

$$u_n(x),\;u_0(x)=1,\;u_n(x)=x\hat{u}_n(x).$$

Так как

$$\left<\log{a(x)}\right>e^{\alpha{x}}=a^\alpha(x),$$

то

$$a^\alpha(x)=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\alpha\hat{u}_n(\alpha)}{n!}x^n.$$

Покажем, что

$$_{(\beta)}a^\alpha(x)=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\alpha\hat{u}_n(\alpha+n\beta)}{n!}x^n.$$

n-й коэффициент ряда $\left(1+x\beta(\log_{(\beta)}a(x))'\right){_{(\beta)}a^\alpha(x)}$ обозначим $_{(\beta)}{la_n^\alpha};$ n-й коэффициент ряда $_{(\beta)}a^\alpha(x)$ обозначим $_{(\beta)}a_n^\alpha.$ Так как

$$\left(1+x\beta\frac{_{(\beta)}a'(x)}{_{(\beta)}a(x)}\right){_{(\beta)}a^\alpha(x)}=_{(\beta)}a^\alpha(x)+\frac{x\beta}{\alpha}\left(_{(\beta)}a^\alpha(x)\right)',$$

то

$$_{(\beta)}la_n^\alpha=_{(\beta)}a_n^\alpha+\frac{n\beta}{\alpha}{_{(\beta)}a_n^\alpha}=\frac{\alpha+n\beta}{\alpha}{_{(\beta)}a_n^\alpha};$$

так как

$$_{(\beta)}la_n^\alpha=a_n^{\alpha+n\beta},$$

то

$$_{(\beta)}a_n^\alpha=\frac{\alpha}{\alpha+n\beta}a_n^{\alpha+n\beta}.$$

Таким образом, n-й строкой матрицы

$$|e^x|^{-1}\left<\log_{(\beta)}a(x)\right>|e^x|,\;n>0,$$

является полином

$$_{(\beta)}u_n(x)=x\hat{u}_n(x+n\beta)=x(x+n\beta)^{-1}u_n(x+n\beta).$$

n-й столбец матрицы

$$|e^x|^{-1}\left<\log_{(\beta)}a(x)\right>^{-1}|e^x|=|e^x|^{-1}\left<q(x)e^{-\beta{x}}\right>|e^x|$$

обозначим $_{(\beta)}q_n(x)$. Так как n-й столбец матрицы

$$|e^x|^{-1}[e^{-n\beta{x}}]\left<q(x)\right>|e^x|$$

совпадает с n-м столбцом матрицы

$$|e^x|^{-1}\left<q(x)e^{-\beta{x}}\right>|e^x|,$$

то (вспомним свойство транспонированной матрицы оператора сдвига)

$$_{(\beta)}q_n(x)=(1+n\beta{x})^{-1}q_n\left(\frac{x}{1+n\beta{x}}\right).$$

Отметим равенство (алгебраическое, для формальных рядов)

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{_{(\beta)}u_n(\alpha)_{(\beta)}q_n(x)}=(1-\alpha{x})^{-1}.$$

Применительно к биномиальному и экспоненциальному ряду:

$$a(x)=1+x,$$

$$|e^x|^{-1}\left<\log_{(\beta)}a(x)\right>^{-1}|e^x|=|e^x|^{-1}\left<(e^x-1)e^{-\beta{x}}\right>|e^x|,$$

$$_{(\beta)}u_0(x)=1,\;_{(\beta)}u_1(x)=x,$$

$$u_n(x)=x\prod\limits_{m=1}^{n-1}(x-m),\quad_{(\beta)}u_n(x)=x\prod\limits_{m=1}^{n-1}(x+n\beta-m),$$

$$q_n(x)=x^n\prod\limits_{m=0}^n(1-mx)^{-1},\quad_{(\beta)}q_n(x)=x^n\prod\limits_{m=0}^n(1+(n\beta-m)x)^{-1};$$

$$a(x)=e^x,$$

$$|e^x|^{-1}\left<\log_{(\beta)}a(x)\right>|e^x|=|e^x|^{-1}\left<xe^{-\beta{x}}\right>|e^x|,$$

$$u_n(x)=x^n,\quad_{(\beta)}u_n(x)=x(x+n\beta)^{n-1},$$

$$q_n(x)=x^n,\quad_{(\beta)}q_n(x)=x^n(1+n\beta{x})^{-n-1}.$$

Таким образом, налицо определенная алгебраическая структура. В литературе мне встречался только ее общеизвестный фрагмент, связанный с числами Стерлинга первого и второго рода.

[EvgenB]

Все время жду упреков в изобретении велосипеда, но так как их нет, продолжу делиться своими наблюдениями. Они также касаются "секретных" фактов (т.е. не освещаемых в литературе), на этот раз о полиномах Эйлера, связанных с рядами степеней натуральных чисел.
В предыдущих сообщениях я ввел в рассмотрение матрицы $[a(x)], \left<a(x)\right>$, задающие умножение рядов и подстановку: $[a(x)]b(x)=a(x)b(x),$ $\left<a(x)\right>b(x)=b(a(x)).$ n-м столбцом первой матрицы является ряд $x^na(x),$ n-м столбцом второй матрицы - ряд $a^n(x).$ В теневом исчислении, составной частью которого является теория биномиальных последовательностей, они называются теневыми матрицами. Теневое исчисление возникло из направления, изучающего последовательности полиномов определенного вида. При этом были разработаны специальные методы. Позже выявилось соответствие между этими методами и основными операциями алгебры формальных степенных рядов, - отсюда аналогия с тенью. Принято считать, что метод теневых матриц является альтернативой традиционным методам теневого исчисления. Мне же кажется, что он больше, чем просто альтернатива. Любое равенство для теневых матриц можно одновременно рассматривать как равенство для транспонированных матриц, что позволяет сопоствить столбцы и строки теневых матриц. Неожиданность в том, что определенная связь между столбцами и строками действительно существует. Предметом теневого исчисления являются строки теневых матриц, предметом алгебры формальных степенных рядав - их столбцы. Метод теневых матриц - не альтернатива теневому исчислению, а связывающее звено между двумя дисциплинами. Природа этой связи - вопрос отдельный.
Мы уже выявили одно неожиданное соотношение между строками матрицы $|e^x|^{-1}\left<\log{a(x)}\right>|e^x|$ и столбцами матрицы $|e^x|^{-1}\left<\log{a(x)}\right>^{-1}|e^x|.$ Теперь я хочу продемонстрировать эффективность метода теневых матриц в полной мере. Для ряда

$$a(x),\;a_0=1,\;a_1\neq0,$$

n-ю строку матрицы $\left<a(x)\right>$ обозначим $^na(x)$, n-ю строку матрицы $\left<a^{-1}(x)\right>$ обозначим $^n\hat{a}(x);$ n-ю строку матрицы $\left<a(x)-1\right>$ обозначим $v_n(x);$ n-ю строку матрицы $|e^x|^{-1}\left<\log{a(x)}\right>|e^x|$ обозначим $u_n(x)$ и назовем биномиальной последовательностью ряда $a(x).$ Название оправдано тем, что

$$a^\alpha(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{u_n(\alpha)}{n!}x^n.$$

Матрицы $\left<a(x)\right>,\left<a^{-1}(x)\right>$ являются бесконечными квадратными матрицами, матрицы $\left<a(x)-1\right>,\left<\log{a(x)}\right>$ - бесконечными нижними треугольными матрицами. В теневом исчислении рассматриваются только треугольные матрицы, так что введение квадртных матриц можно считать расширением теневого исчисления. Равенства

$$\left<a(x)-1\right>\left<1+x\right>{=}\left<a(x)\right>,\quad\left<a(x)-1\right>\left<\frac1{1+x}\right>{=}\left<a^{-1}(x)\right>,$$

$$\left<\log{a(x)}\right>\left<e^x\right>{=}\left<a(x)\right>,\quad\left<\log{a(x)}\right>\left<e^x-1\right>{=}\left<a(x)-1\right>$$

(одновременно рассматриваем равенства для транспонированных матриц) несут следующую информацию (далеко не очевидную, требующую для извлечения определенных усилий).
n-й строкой матрицы $\left<a(x)\right>$ является ряд

$$^na(x)=\frac{a_n(x)}{(1-x)^{n+1}};$$

n-й строкой матрицы $\left<a^{-1}(x)\right>$ является ряд

$$^n\hat{a}(x)=\frac{\hat{a}_n(x)}{(1-x)^{n+1}},$$

где $a_n(x),\hat{a}(x)$ -полиномы степени $\leq{n}$, причем

$$\hat{a}_n(x)=(-1)^n\hat{I}_na_n(x),$$

где $\hat{I}_n$ - оператор, переставляющий коэффициенты полинома n-й степени в обратном порядке (матрица $\hat{I}_n$ получается из единичной матрицы размерности (n+1)х(n+1) перестановкой столбцов в обратном порядке). Сумма коэффициентов полинома $a_n(x)$ равна $(a_1)^n$, т.е. n-й степени коэффициента при $x$ ряда $a(x).$
Если $a(x)=e^x$, то $a_n(x)=\frac1{n!}{A_n(x)}$, где $A_n(x)$ - полиномы Эйлера:

$$\frac{A_n(x)}{(1-x)^{n+1}}=\sum\limits_{m=0}^\infty{m^n{x^m}}.$$

Например,

$$A_1(x)=x,\;A_2(x)=x+x^2,\;A_3(x)=x+4x^2+x^3,\;A_4(x)=x+11x^2+11x^3+x^4.$$

В книге Р. Стэнли "Перечислительная комбинаторика", Мир, 1990, раздел 4. 3, полиномы $a_n(x)$ называются $f$-многочленами Эйлера:

$$\frac{a_n(x)}{(1-x)^{n+1}}=\sum\limits_{m=0}^\infty{f(m)x^m},$$

где $a_n(x), f(x)$ - многочлены степени $\leq{n}$. В нашем же случае определена последовательность полиномов $a_n(x):$

$$\frac{a_n(x)}{(1-x)^{n+1}}=\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{u_n(m)}{n!}x^m,$$

где $u_n(x)$ - биномиальная последовательность ряда $a(x).$
(Окончание следует)

[EvgenB]

(Окончание)
Обозначим (n>0):

$$a_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{a_m}x^m,\quad{u}_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{u_m}x^m,\quad{v}_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{v_m}x^m.$$

Тогда

$$a_n(x)=\frac1{n!}\sum\limits_{m=1}^n{u_m(1-x)^{n-m}}A_m(x),\quad{u}_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{a_m\prod\limits_{p=1}^n(x-m+p)},$$

$$a_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{v_m}x^m(1-x)^{n-m},\quad{v}_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{a_m}x^m(1+x)^{n-m},$$

$$u_n(x)=n!\sum\limits_{m=1}^n{v}_m\frac1{m!}\prod\limits_{p=0}^{m-1}(x-p)=n!\sum_{m=1}^n{v}_m\frac1{m!}\sum\limits_{p=1}^m{s(m,p)}x^p,\quad{v}_n(x)=\frac1{n!}\sum\limits_{m=1}^n{u}_m\sum\limits_{p=1}^m{p!}S(m,p)x^p,$$

где $s(m,p),S(m,p)$ - числа Стерлинга первого и второго рода.
Примеры:

$$a(x)=e^x,$$

$$a_n(x)=\frac1{n!}A_n(x),\quad{v}_n(x)=\frac1{n!}\sum\limits_{m=1}^n{m!}S(n,m)x^m,\quad{u}_n(x)=x^n;$$

$$a(x)=1+x,$$

$$a_n(x)=x^n,\quad{v}_n(x)=x^n,\quad{u}_n(x)=\prod\limits_{m=0}^{n-1}(x-m);$$

$$a(x)=(1-x)^{-1},$$

$$a_n(x)=x,\quad{v}_n(x)=x(1+x)^{n-1},\quad{u}_n(x)=\prod\limits_{m=0}^{n-1}(x+m);$$

$$a(x)=\frac{1+x}{1-x},$$

$$a_n(x)=2x(1+x)^{n-1},\quad{v}_n(x)=2^nx\left(\frac12+x\right)^{n-1},$$

$$u_n(x)=2\sum\limits_{m=1}^n{C_{n-1}^{m-1}}\prod\limits_{p-1}^n(x-m+p)=n!\sum\limits_{m=1}^N{C_{n-1}^{m-1}}\frac{2^m}{m!}\prod\limits_{p=0}^{m-1}(x-p),$$

где $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}.$
Для полноты картины отметим, что полиномы $v_n(x)$ являются разновидностью полиномов Белла:

$$v_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n{\alpha_{(n,m)}}x^m,\quad\alpha_{(n,m)}=\sum\frac{m!}{m_1!m_2!...m_n!}a_1^{m_1}a_2^{m_2}...a_n^{m_n},$$

выржению $\prod\limits_{p=1}^{n}a_p^{m_p}$ соответствует разбиение $n=\sum\limits_{p=1}^{n}pm_p,\;\sum\limits_{p=1}^{n}m_p=m$, и суммирование ведется по всем разбиениям числа n на m слагаемых.
То же самое относится к строкам матрицы $\left<\log{a(x)}\right>$. Если $\log{a(x)}=\sum\limits_{n=1}^\infty{b}_nx^n$, то

$$u_n(x)=n!\sum\limits_{m=1}^n\frac{\beta_{(n,m)}}{m!}x^m,\quad\beta_{(n,m)}=\sum\frac{m!}{m_1!m_2!...m_n!}b_1^{m_1}b_2^{m_2}...b_n^{m_n}$$

и суммирование ведется по всем разбиениям числа n на m слагаемых. В свою очередь, как видно из равенства

$$\left<a(x)-1\right>\log(1+x)=\log{a(x)},$$

$$b_n=\sum\limits_{m=1}^n{(-1)^{m-1}}\frac{\alpha_{(n,m)}}m.$$

[EvgenB]

Свойство, упомянутое в заголовке, лучше всего изучать на конкретных примерах. Рассмотрим яркий пример, в котором принимают участие полиномы Чебышева. С каждым рядом

$$a(x),\;a_0=1,\;a^n(x)=\sum\limits_{m=0}^\infty{a_m^n}x^m$$

связан ряд

$$_{(-1)}a(x),\;_{(-1)}a^n(x)=\sum\limits_{m=0}^\infty{_{(-1)}a_m^n}x^m,$$

такой, что

$$_{(-1)}a\left(xa(x)\right)=a(x),\quad{a}\left(x_{(-1)}a^{-1}(x)\right)={_{(-1)}a(x)}.$$

Если представить таблицу, k-й строкой которой (k - целое число) является ряд $a^k(x)$, то k-й нисходящей диагональю этой таблицы будет ряд $\left(1-x(\log{_{(-1)}a(x)})'\right){_{(-1)}a^k(x)}.$ Соответственно, если представить таблицу, k-й строкой которой является ряд $_{(-1)}a^k(x)$, то k-й восходящей диагональю этой таблицы будет ряд $\left(1+x(\log{a}(x))'\right)a^k(x).$
Пусть $[a(x)], \left<a(x)\right>$ - матрицы, задающие умножение рядов и подстановку. n-м столбцом первой матрицы является ряд $x^na(x)$, n-м столбцом второй матрицы - ряд $a^n(x)$. Соответственно, n-м столбцом матрицы $[a(x)]\left<b(x)\right>$ является ряд $a(x)b^n(x)$. Из равенств

$$\left(1+x(\log{a}(x))'\right)a^n(x)=\sum\limits_{m=0}^\infty{_{(-1)}a_m^{n+m}}x^m,\quad\left(1-x(\log{_{(-1)}a(x)})'\right){_{(-1)}a^n(x)}=\sum\limits_{m=0}^\infty{a_m^{n-m}}x^m$$

видно, что n-я строка матрицы

$$\left[1+x(\log{a}(x))'\right]\left<xa(x)\right>$$

совпадает с n-й строкой матрицы

$$\left[_{(-1)}a^n(x)\right],$$

n-я строка матрицы

$$[a(x)]\left<xa(x)\right>$$

совпадает с n-й строкой матрицы

$$\left[\left(1-x(\log{_{(-1)}a(x)})'\right){_{(-1)}a^{n+1}(x)}\right].$$

Легко убедиться (сверившись с таблицей полиномов Чебышева), что n-й строкой (n>0) матрицы

$$\left[\frac{1-x^2}{1+x^2}\right]\left<\frac{x}{1+x^2}\right>$$

является полином

$$\prod\limits_{m=1}^n\left(x-2\cos\frac{2m-1}{2n}\pi\right),$$

n-й строкой матрицы

$$\left[\frac1{1+x^2}\right]\left<\frac{x}{1+x^2}\right>$$

является полином

$$\prod\limits_{m=1}^n\left(x-2\cos\frac{m}{n+1}\pi\right)$$

(это полиномы Чебышева первого и второго рода, которые принято обозначать $C_n(x),S_n(x)$). Вспомним, что матрица $\left<x+a\right>$(оператор сдвига) транспонированна к матрице $\left[\frac1{1-ax}\right]\left<\frac{x}{1-ax}\right>$. Следовательно, n-й строкой матрицы

$$\left[\frac{1-bx^2}{1-ax+bx^2}\right]\left<\frac{x}{1-ax+bx^2}\right>{=}\left[\frac{1-bx^2}{1+bx^2}\right]\left<\frac{x}{1+bx^2}\right>\left[\frac1{1-ax}\right]\left<\frac{x}{1-ax}\right>$$

является полином

$$c_{n,a,b}(x)=\prod\limits_{m=1}^n\left(x+a-2\sqrt{b}\cos\frac{2m-1}{2n}\pi\right),$$

n-й строкой матрицы

$$\left[\frac1{1-ax+bx^2}\right]\left<\frac{x}{1-ax+bx^2}\right>{=}\left[\frac1{1+bx^2}\right]\left<\frac{x}{1+bx^2}\right>\left[\frac1{1-ax}\right]\left<\frac{x}{1-ax}\right>$$

является полином

$$s_{n,a,b}(x)=\prod\limits_{m=1}^n\left(x+a-2\sqrt{b}\cos\frac{m}{n+1}\pi\right).$$

Если

$$a(x)=(1-ax+bx^2)^{-1},$$

то

$$1+x(\log{a}(x))'=\frac{1-bx^2}{1-ax+bx^2},$$

$$_{(-1)}a(x)=\frac{1+ax+\left(1+2ax+(a^2-4b)x^2\right)^\frac12}2,$$

$$1-x(\log{_{(-1)}a}(x))'=\left(1+2ax+(a^2-4b)x^2\right)^{-\frac12}.$$

Отсюда выводим:

$$_{(-1)}a^n(x)=\frac{\hat{c}_{n,a,b}(x)+\hat{s}_{n-1,a,b}(x)\left(1+2ax+(a^2-4b)x^2\right)^\frac12}2,$$

$$b^nx^{2n}{_{(-1)}a}^{-n}(x)=\frac{\hat{c}_{n,a,b}(x)-\hat{s}_{n-1,a,b}(x)\left(1+2a+(a^2-4b)x^2\right)^\frac12}2,$$

где

$$\hat{c}_{0,a,b}(x)=2,\quad\hat{c}_{n,a,b}(x)=\hat{I}_nc_{n,a,b}(x),\quad\hat{s}_{-1,a,b}(x)=0,\quad\hat{s}_{n,a,b}(x)=\hat{I}_ns_{n,a,b}(x),$$

$\hat{I}_n$ - оператор, переставляющий коэффициенты полинома n-й степени в обратном порядке.