Интеграл

[Singular]

Помогите взять интеграл

$$\int_{0}^{\infty}\exp^{-a\tanh{x}}\tanh{x}dx$$

[Someone]

Расходится. Потому что

$$\lim\limits_{x\to+\infty}\th x=1\text{.}$$

А предел подынтегральной функции, соответственно, равен $e$.

[Singular]

А если так

$$z=\tanh{x}\Rightarrow dx=\frac{dz}{1-z^2}\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{z e^{-az}}{1-z^2}dz$$

,
а далее в классе обобщенных функций через главное значение?

[Someone]

Singular писал(а):

А если так

$$z=\tanh{x}\Rightarrow dx=\frac{dz}{1-z^2}\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{z e^{-az}}{1-z^2}dz$$

,
а далее в классе обобщенных функций через главное значение?

Подынтегральная функция ведь положительная, так что главное значение тоже будет расходиться. И в каком смысле тут будет главное значение, если особая точка одна и на конце промежутка интегрирования?

[Andrey_SR]

Помогите взять интеграл. Как не пробовал, не получается.

$$\int \frac {1} {\sin{(x+a)} \sin{(x+b)}}dx$$

[незваный гость]

1) Очевидно, что $b$ можно сделать 0 после замены переменной.

2) Разложите $\sin(x+a)$ как синус суммы, и перейдите к $t = \tg x$. Получится рациональная функция...

[Егор]

Andrey_SR писал(а):

Помогите взять интеграл. Как не пробовал, не получается.

$$\int \frac {1} {\sin{(x+a)} \sin{(x+b)}}dx$$

Есть ещё один приём, специально для примеров такого типа.
Подсказка: упростите выражение $\ctg(x+a)-\ctg(x+b)$.

[Andrey_SR]

Егор, да действительно ваш метод ещё проще , чем предложил Незваный гость. Спасибо
Сразу как-то не догадался(