2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл
Сообщение23.07.2007, 10:15 
Аватара пользователя
Помогите взять интеграл
$$\int_{0}^{\infty}\exp^{-a\tanh{x}}\tanh{x}dx$$

 
 
 
 
Сообщение23.07.2007, 10:36 
Аватара пользователя
Расходится. Потому что
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\th x=1\text{.}$$
А предел подынтегральной функции, соответственно, равен $e$.

 
 
 
 
Сообщение24.07.2007, 08:32 
Аватара пользователя
А если так
$$z=\tanh{x}\Rightarrow dx=\frac{dz}{1-z^2}\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{z e^{-az}}{1-z^2}dz$$,
а далее в классе обобщенных функций через главное значение?

 
 
 
 
Сообщение24.07.2007, 19:56 
Аватара пользователя
Singular писал(а):
А если так
$$z=\tanh{x}\Rightarrow dx=\frac{dz}{1-z^2}\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{z e^{-az}}{1-z^2}dz$$,
а далее в классе обобщенных функций через главное значение?


Подынтегральная функция ведь положительная, так что главное значение тоже будет расходиться. И в каком смысле тут будет главное значение, если особая точка одна и на конце промежутка интегрирования?

 
 
 
 
Сообщение11.08.2007, 19:26 
Помогите взять интеграл. Как не пробовал, не получается.
$$\int \frac {1} {\sin{(x+a)} \sin{(x+b)}}dx$$

 
 
 
 
Сообщение11.08.2007, 20:31 
Аватара пользователя
:evil:
1) Очевидно, что $b$ можно сделать 0 после замены переменной.

2) Разложите $\sin(x+a)$ как синус суммы, и перейдите к $t = \tg x$. Получится рациональная функция...

 
 
 
 
Сообщение12.08.2007, 16:38 
Andrey_SR писал(а):
Помогите взять интеграл. Как не пробовал, не получается.
$$\int \frac {1} {\sin{(x+a)} \sin{(x+b)}}dx$$

Есть ещё один приём, специально для примеров такого типа.
Подсказка: упростите выражение $\ctg(x+a)-\ctg(x+b)$.

 
 
 
 
Сообщение13.08.2007, 21:51 
Егор, да действительно ваш метод ещё проще , чем предложил Незваный гость. Спасибо
Сразу как-то не догадался(

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group