Скалярное произведение

[lunya]

Приветствую всех! У меня возник один вопрос. Помогите разобраться...

Итак, скалярное произведение вводится как операция над двумя векторами, результатом которой является число скаляр, не зависящее от системы координат, то есть инвариант. По сути оно объявляется как оператор переводящий два элемента линейного пространства в скаляр с тремя условиями: линейностью, эрмитовой симметричностью и положительной определенностью.

Далее практически все авторы учебников вводят его как:
$\vec{x}\vec{y}=x_ix^i$
и начинают плясать от него, какое оно хорошее, удобное и какие у него волосы нежные и шелковистые. Попутно, конечно, все авторы не забывают оставлять замечания, что скалярное произведение можно вводить как угодно, коль скоро будут соблюдены вышеупомянутые свойства. Теория будет работать... Однако, никто не объясняет, почему скалярное произведение вводится так, и менно так. Понятно, что удобно, понятно, что так сложилось исторически... Но... так как мы знаем, что ЭТО оператор, производящий некий инвариант из двух векторов, и вспоминая навскидку известные мне инварианты, получающиеся из двух векторов, что-то я не могу придумать, как можно ввести скалярное произведение по другому, чтобы оно выражалось АНАЛИТИЧЕСКИ (таблично, устно - ясное дело - не проблема, а аналитически?). Не является ли это единственным способом ввести скалярное произведение АНАЛИТИЧЕСКИ (в виде формулы)? Если нет, то приведите пример, как его можно задать "совсем совсем по другому", тем не менее аналитически.

[nnosipov]

lunya в сообщении #747163 писал(а):

Далее практически все авторы учебников вводят его как:
$\vec{x}\vec{y}=x_ix^i$

Это потому, что любое скалярное произведение в подходящем базисе (системе координат) можно задать этой формулой. Вообще, для задания скалярного произведения используют билинейные формы.

-- Чт июл 18, 2013 19:24:14 --

lunya в сообщении #747163 писал(а):

По сути оно объявляется как оператор в линейном пространстве

Нет, так не говорят.

[Oleg Zubelevich]

В трехмерном пространстве для целей "школьной" геометрии, на мой взгляд, удобно использовать инвариантное определение $(a,b)=|a||b|\cos\psi$. Потом доказывать, что такое скалярное произведение обладает хорошими алгебраическими свойствами.
В более продвинутых курсах естественно вводить скалярное произведение аксиоматически именно через алгебраические свойства. Важно понимать связь между первым и вторым, понимать инвариантность определений и инвариантность или неинвариантность тех или иных формул. Например, формула $(a,b)=\sum_ia^ib^i$ неинвариантна и верна только в ортонормированном базисе, а формула $(a,b)=\sum_{ij}g_{ij}a^ib^j,\quad g_{ij}=(e_i,e_j)$ инвариантна, верна в любом базисе. дальше начинается тензорная алгебра

[Someone]

lunya в сообщении #747163 писал(а):

Не является ли это единственным способом ввести скалярное произведение АНАЛИТИЧЕСКИ (в виде формулы)? Если нет, то приведите пример, как его можно задать "совсем совсем по другому", тем не менее аналитически.

Ну, можно так.
Шаг 1. Определяем скалярное произведение аксиоматически: скалярным произведением на векторном пространстве $K$ называется функция, которая каждой упорядоченной паре векторов $\vec a,\vec b\in K$ ставит в соответствие число (будем обозначать его, например, $(\vec a,\vec b)$), удовлетворяющее следующим аксиомам:
E1. $(\vec a,\vec a)\geqslant 0$; $(\vec a,\vec a)=0\Leftrightarrow\vec a=\vec 0$;
E2. $(\vec a,\vec b)=(\vec b,\vec a)$;
E3. $(\lambda\vec a,\vec b)=\lambda(\vec a,\vec b)$;
E4. $(\vec a+\vec b,\vec c)=(\vec a,\vec c)+(\vec b,\vec c)$.
Доказываем всякие полезные свойства скалярного произведения, определяем норму вектора ($\Vert\vec a\Vert=\sqrt{(\vec a,\vec a)}$), доказываем неравенство Коши - Буняковского, разные свойства нормы.
Шаг 2. Вводим понятие ортонормированной системы векторов, изучаем ортонормированные системы векторов. Определяем ортонормированные базисы (в конечномерном случае), показываем их существование (процессом ортогонализации).
Шаг 3. Доказываем, что в ортонормированном базисе скалярное произведение записывается именно такой формулой, которую любят "практически все авторы учебников".

Oleg Zubelevich в сообщении #747172 писал(а):

В трехмерном пространстве для целей "школьной" геометрии, на мой взгляд, удобно использовать инвариантное определение $(a,b)=|a||b|\cos\psi$.

Да. В этом случае можно начать с того, чтобы проверить выполнение свойств E1—E4. При этом удобно использовать проекции и их свойства.

[Oleg Zubelevich]

Есть очень изящный вывод неравенства Коши из свойств E1-E4. Он основан на том, что для любых $a,b$ неравенство $(a-tb,a-tb)\ge 0$ выполнено при всех $t\in\mathbb{R}$

[AlexValk]

Что касается явного примера о котором вы спрашиваете, то в фиксированном базисе (и в ваших обозначениях) его можно записать так: $\vec{x}\vec{y}=x_i a^i_j (y^i)^*$, где числа $a^i_j$ образуют эрмитову положительно определенную матрицу. Простейшие примеры в двумерном случае:

$$\vec{x}\vec{y}= x_1y_1^*+2x_2y_2^*;$$

$$\vec{x}\vec{y}= x_1y_1^*+x_1y_2^*+x_2y_1^*+2x_2y_2^*;$$

$$\vec{x}\vec{y}= x_1y_1^*+i(x_1y_2^*-x_2y_1^*)+2x_2y_2^*$$

и т.д.

[lunya]

AlexValk в сообщении #747182 писал(а):

Что касается явного примера о котором вы спрашиваете, то в фиксированном базисе (и в ваших обозначениях) его можно записать так: $\vec{x}\vec{y}=x_i a^i_j (y^i)^*$, где числа $a^i_j$ образуют эрмитову положительно определенную матрицу. Простейшие примеры в двумерном случае:

$$\vec{x}\vec{y}= x_1y_1^*+2x_2y_2^*;$$

$$\vec{x}\vec{y}= x_1y_1^*+x_1y_2^*+x_2y_1^*+2x_2y_2^*;$$

$$\vec{x}\vec{y}= x_1y_1^*+i(x_1y_2^*-x_2y_1^*)+2x_2y_2^*$$

и т.д.

Спасибо большое. Значит "обычное определение" - "удобное", просто потому, что здесь, в качестве этой матрицы - единичная?

-- 18.07.2013, 18:02 --

Oleg Zubelevich в сообщении #747172 писал(а):

$(a,b)=\sum_ia^ib^i$ неинвариантна и верна только в ортонормированном базисе

У меня ковариантная на контравариантную...

[Oleg Zubelevich]

lunya в сообщении #747198 писал(а):

У меня ковариантная на контравариантную...

ну если вы при этом понимаете, что такое ковариантные компоненты вектора, то хорошо. Только непонятно тогда в чем вопрос был

-- Чт июл 18, 2013 17:13:18 --

AlexValk в сообщении #747182 писал(а):

я явного примера о котором вы спрашиваете, то в фиксированном базисе (и в ваших обозначениях) его можно записать так: $\vec{x}\vec{y}=x_i a^i_j (y^i)^*$

вот это, кстати сказать, глупость: если один вектор записан в ковариантных компонентах то откуда еще какая то матрица? эта матрица может быть только единичной

[lunya]

Oleg Zubelevich в сообщении #747200 писал(а):

lunya в сообщении #747198 писал(а):

У меня ковариантная на контравариантную...

ну если вы при этом понимаете, что такое ковариантные компоненты вектора, то хорошо. Только непонятно тогда в чем вопрос был

-- Чт июл 18, 2013 17:13:18 --

AlexValk в сообщении #747182 писал(а):

я явного примера о котором вы спрашиваете, то в фиксированном базисе (и в ваших обозначениях) его можно записать так: $\vec{x}\vec{y}=x_i a^i_j (y^i)^*$

вот это, кстати сказать, глупость: если один вектор записан в ковариантных компонентах то откуда еще какая то матрица? эта матрица может быть только единичной

Ну вопрос, вроде понятно написала... Есть ли другой способ явного определения скалярного произведения именно в аналитической форме (в виде явной простой формулы, не знаю, как еще написать доходчивей). Или оно единственное такое в аналитической форме?

"Эта матрица может быть только единичной." - то есть это единственный способ?

[Oleg Zubelevich]

lunya в сообщении #747212 писал(а):

"Эта матрица может быть только единичной." - то есть это единственный способ?

этот вопрос свидетельствует о том, что вы не понимаете что такое ковариантные компоненты вектора