Неравенство с целой частью

[Ward]

Пусть $m>0, \text{gcd}(a,m)=1, h\geqslant 0, c\in \mathbb{R}$ и

$$S=\sum \limits_{x=0}^{m-1}\left\{\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right\},$$

где $\psi(x)$ для рассматриваемых значений $x$ принимает значения с условием $c\leqslant \psi(x)\leqslant c+h$. Доказать, что

$$\left|S-\dfrac{m}{2}\right|\leqslant h+\frac{1}{2}$$

Решение:Так как $\left\{\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right\}=\dfrac{ax+\psi(x)}{m}-\left[\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]$ и так как

$$\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\leqslant \dfrac{ax+c+h}{m}<\dfrac{ax+[c]}{m}+\dfrac{h+1}{m}, \quad \left[\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\geqslant \left[\dfrac{ax+c}{m}\right]\geqslant \left[\dfrac{ax+[c]}{m}\right]$$

Отсюда получаем, что:

$$S\leqslant \sum \limits_{x=0}^{m-1}\left(\dfrac{ax+[c]}{m}+\dfrac{h+1}{m}-\left[\dfrac{ax+[c]}{m}\right]\right)=\sum \limits_{x=0}^{m-1}\left\{\dfrac{ax+[c]}{m}\right\}+\sum \limits_{x=0}^{m-1}\dfrac{h+1}{m}$$

Так как $\text{gcd}(a,m)=1,$ то $ax+[c]$ пробегает полную систему вычетов по модулю $m$ и следовательно первая сумма равна $\dfrac{m(m-1)}{2m}=\dfrac{m-1}{2}$, а вторая $h+1$. Получаем, что

$$S\leqslant \dfrac{m}{2}+h+\dfrac{1}{2}$$

А вот нижнюю оценку что-то получить не удается. У меня получается, что:

$$\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\geqslant \dfrac{ax+c}{m}\geqslant \dfrac{ax+[c]}{m}$$

$$\left [\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\leqslant \left [\dfrac{ax+c+h}{m}\right]<\dots$$

Подскажите пожалуйста.

(Оффтоп)

Извиняюсь! По глупости удалил самое первое сообщение

[patzer2097]

неверно, возьмите $a=m=1$, $c=h=\frac12$ и $x=0$

[patzer2097]

Ward в сообщении #746608 писал(а):

Извиняюсь! По глупости удалил самое первое сообщение

Ага.. Только как теперь мой ответ на это "первое сообщение" удалить, вот уж он действительно теперь глупо выглядит

И потом, я опять могу взять $a=m=1$ и $\psi(0)=c$. И получается, что Вы доказываете неравенство $\{c-\frac12\}\leqslant h+\frac12$ для всех положительных $c$ и $h$

[Ward]

patzer2097 в сообщении #746642 писал(а):

И потом, я опять могу взять $a=m=1$ и $\psi(0)=c$. И получается, что Вы доказываете неравенство $\{c-\frac12\}\leqslant h+\frac12$ для всех положительных $c$ и $h$

Это замечание к чему именно относится?
Меня сейчас интересует как доказать $S\geqslant \frac{m}{2}-h-\frac{1}{2}$.
Помогите пожалуйста!

[Ward]

Неужели никто не может ничего подсказать?

[Sonic86]

Удобно сделать замену $ax=y$, тогда $\psi(x)=\xi(y)$ с $c\leqslant\xi(y)\leqslant c+h$, и, по-прежнему, $y\in\mathbb{Z}_{m}^+$. Потом просто найти экстремальные значения суммы подбором $\xi(y)$.
Оценки получаются в результате точные.

[Otta]

$$\left [\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\leqslant \left [\dfrac{ax+c+h}{m}\right], \quad \dfrac{ax+\psi(x)}{m}\geqslant \dfrac{ax+c}{m}=\dfrac{ax+c+h}{m}-\dfrac{h}{m}$$

[Whitaker]

Если воспользоваться теми оценками, которые Вы указали, то получаем:

$$\left\{\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right\}\geqslant \left\{\dfrac{ax+c+h}{m}\right\}-\dfrac{h}{m}$$

Чтобы $ax+c+h$ пробегало полную систему вычетов нужно, чтобы $\text{gcd}(a,m)=1$ (ну это дано в условии!) и еще $c+h$ должно быть целым. А разве здесь $c+h\in \mathbb{Z}$?

[Otta]

Whitaker в сообщении #746861 писал(а):

Если воспользоваться теми оценками, которые Вы указали, то получаем:

Которые я указала? Да. Но нужны они были ТС.

Whitaker в сообщении #746861 писал(а):

А разве здесь $с+h\in \mathbb{Z}$?

Нет, они вещественные.

[Whitaker]

Otta
Ну там у ТС получилась система $ax+[c]$, а у Вас $ax+c+h$ да еще $c+h$ вообще говоря могут быть и не целыми. Так что ....

[Otta]

Whitaker в сообщении #746865 писал(а):

Так что ....

Да, хвост не вытаскивается. Клятая минус единица лезет не в дверь, так в окно.

[Ward]

Я вот оценил так:

$$\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\geqslant\dfrac{ax+c}{m}\geqslant\dfrac{ax+c+h+1}{m}-\dfrac{h+1}{m}\geqslant \dfrac{ax+[c+h]+1}{m}-\dfrac{h+1}{m},$$

$$\left[\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\leqslant\left[\dfrac{ax+c+h}{m}\right]<\left[\dfrac{ax+[c+h]+1}{m}\right]$$

Но отсюда получается, что $S\geqslant \dfrac{m}{2}-h-\dfrac{3}{2}$, что явно не подходит.

[Otta]

Ward
Эта оценка и проще получается, из Ваших первоначальных, напрямую.

[Ward]

Хотелось бы получить именно оценку $S\geqslant \dfrac{m}{2}-h-\dfrac{1}{2}$

[Otta]

А попробуйте доказать: пусть $S_0=\sum \limits_{x=0}^{m-1}\left\{\dfrac{ax+c}{m}\right\}$, тогда $\left|S_0-\dfrac{m}{2}\right|\le \dfrac{1}{2}$.