2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Неравенство с целой частью
Сообщение16.07.2013, 21:57 
Пусть $m>0, \text{gcd}(a,m)=1, h\geqslant 0, c\in \mathbb{R}$ и $$S=\sum \limits_{x=0}^{m-1}\left\{\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right\},$$ где $\psi(x)$ для рассматриваемых значений $x$ принимает значения с условием $c\leqslant \psi(x)\leqslant c+h$. Доказать, что $$\left|S-\dfrac{m}{2}\right|\leqslant h+\frac{1}{2}$$Решение:Так как $\left\{\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right\}=\dfrac{ax+\psi(x)}{m}-\left[\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]$ и так как $$\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\leqslant \dfrac{ax+c+h}{m}<\dfrac{ax+[c]}{m}+\dfrac{h+1}{m}, \quad \left[\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\geqslant \left[\dfrac{ax+c}{m}\right]\geqslant \left[\dfrac{ax+[c]}{m}\right]$$ Отсюда получаем, что: $$S\leqslant \sum \limits_{x=0}^{m-1}\left(\dfrac{ax+[c]}{m}+\dfrac{h+1}{m}-\left[\dfrac{ax+[c]}{m}\right]\right)=\sum \limits_{x=0}^{m-1}\left\{\dfrac{ax+[c]}{m}\right\}+\sum \limits_{x=0}^{m-1}\dfrac{h+1}{m}$$ Так как $\text{gcd}(a,m)=1,$ то $ax+[c]$ пробегает полную систему вычетов по модулю $m$ и следовательно первая сумма равна $\dfrac{m(m-1)}{2m}=\dfrac{m-1}{2}$, а вторая $h+1$. Получаем, что $$S\leqslant \dfrac{m}{2}+h+\dfrac{1}{2}$$

А вот нижнюю оценку что-то получить не удается. У меня получается, что:
$$\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\geqslant \dfrac{ax+c}{m}\geqslant \dfrac{ax+[c]}{m}$$$$\left [\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\leqslant \left [\dfrac{ax+c+h}{m}\right]<\dots$$ Подскажите пожалуйста.

(Оффтоп)

Извиняюсь! По глупости удалил самое первое сообщение

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение16.07.2013, 22:15 
неверно, возьмите $a=m=1$, $c=h=\frac12$ и $x=0$

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение16.07.2013, 23:53 
Ward в сообщении #746608 писал(а):
Извиняюсь! По глупости удалил самое первое сообщение

Ага.. Только как теперь мой ответ на это "первое сообщение" удалить, вот уж он действительно теперь глупо выглядит :-(

И потом, я опять могу взять $a=m=1$ и $\psi(0)=c$. И получается, что Вы доказываете неравенство $\{c-\frac12\}\leqslant h+\frac12$ для всех положительных $c$ и $h$ :-( :-( :-(

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 07:09 
patzer2097 в сообщении #746642 писал(а):
И потом, я опять могу взять $a=m=1$ и $\psi(0)=c$. И получается, что Вы доказываете неравенство $\{c-\frac12\}\leqslant h+\frac12$ для всех положительных $c$ и $h$ :-( :-( :-(

Это замечание к чему именно относится?
Меня сейчас интересует как доказать $S\geqslant \frac{m}{2}-h-\frac{1}{2}$.
Помогите пожалуйста!

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 15:19 
Неужели никто не может ничего подсказать?

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:14 
Удобно сделать замену $ax=y$, тогда $\psi(x)=\xi(y)$ с $c\leqslant\xi(y)\leqslant c+h$, и, по-прежнему, $y\in\mathbb{Z}_{m}^+$. Потом просто найти экстремальные значения суммы подбором $\xi(y)$.
Оценки получаются в результате точные.

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:32 
$$\left [\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\leqslant \left [\dfrac{ax+c+h}{m}\right], \quad \dfrac{ax+\psi(x)}{m}\geqslant \dfrac{ax+c}{m}=\dfrac{ax+c+h}{m}-\dfrac{h}{m}$$

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:39 
Аватара пользователя
Если воспользоваться теми оценками, которые Вы указали, то получаем: $$\left\{\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right\}\geqslant \left\{\dfrac{ax+c+h}{m}\right\}-\dfrac{h}{m}$$
Чтобы $ax+c+h$ пробегало полную систему вычетов нужно, чтобы $\text{gcd}(a,m)=1$ (ну это дано в условии!) и еще $c+h$ должно быть целым. А разве здесь $c+h\in \mathbb{Z}$?

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:42 
Whitaker в сообщении #746861 писал(а):
Если воспользоваться теми оценками, которые Вы указали, то получаем:

Которые я указала? Да. Но нужны они были ТС.
Whitaker в сообщении #746861 писал(а):
А разве здесь $с+h\in \mathbb{Z}$?

Нет, они вещественные.

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:44 
Аватара пользователя
Otta
Ну там у ТС получилась система $ax+[c]$, а у Вас $ax+c+h$ да еще $c+h$ вообще говоря могут быть и не целыми. Так что ....

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:52 
Whitaker в сообщении #746865 писал(а):
Так что ....

Да, хвост не вытаскивается. Клятая минус единица лезет не в дверь, так в окно. :-)

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 18:56 
Я вот оценил так: $$\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\geqslant\dfrac{ax+c}{m}\geqslant\dfrac{ax+c+h+1}{m}-\dfrac{h+1}{m}\geqslant \dfrac{ax+[c+h]+1}{m}-\dfrac{h+1}{m},$$ $$\left[\dfrac{ax+\psi(x)}{m}\right]\leqslant\left[\dfrac{ax+c+h}{m}\right]<\left[\dfrac{ax+[c+h]+1}{m}\right]$$
Но отсюда получается, что $S\geqslant \dfrac{m}{2}-h-\dfrac{3}{2}$, что явно не подходит.

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 19:02 
Ward
Эта оценка и проще получается, из Ваших первоначальных, напрямую.

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 19:11 
Хотелось бы получить именно оценку $S\geqslant \dfrac{m}{2}-h-\dfrac{1}{2}$

 
 
 
 Re: Неравенство с целой частью
Сообщение17.07.2013, 19:40 
А попробуйте доказать: пусть $S_0=\sum \limits_{x=0}^{m-1}\left\{\dfrac{ax+c}{m}\right\}$, тогда $\left|S_0-\dfrac{m}{2}\right|\le \dfrac{1}{2}$.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group