Понятие многообразия

[MagzhanZ]

Дорогие форумчане!
Наткнулся на следующую задачу.

Доказать, что объединение двух координатных осей в $R^2$ не является многообразием.

Очень нужно разобраться в ее решении. Вот его набросок:

Любая окрестность начала координат распадается не менее чем на 4 компоненты связности при выбрасывании начала координат, чего не может быть на многообразии.

Пытался дальше додумать решение и пришел к тому что объединение произвольного количества открытых множеств является открытым, поэтому более чем 2 компонентов связности у многообразии не может быть. Я верно мыслю?
Помогите, пожалуйста!

[patzer2097]

MagzhanZ в сообщении #746293 писал(а):

Доказать, что объединение двух координатных осей в $R^2$ не является многообразием.

Очень нужно разобраться в ее решении. Вот его набросок:

Любая окрестность начала координат распадается не менее чем на 4 компоненты связности при выбрасывании начала координат, чего не может быть на многообразии.

ну это верно, теперь Вам требуется вывести отсюда, что окрестность начала координат не гомеоморфна $\mathbb{R}^n$ ни при каком $n$, но это теперь просто совсем

MagzhanZ в сообщении #746293 писал(а):

более чем 2 компонентов связности у многообразии не может быть. Я верно мыслю?

нет

[MagzhanZ]

Интервал, скажем (-1,1) по абсциссе, является окрестностью начала координат?

[Munin]

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #746423 писал(а):

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

похоже сейчас откровение последует, заварил чай, внимаю...

[Deggial]

Oleg Zubelevich в сообщении #746429 писал(а):

похоже сейчас откровение последует, заварил чай, внимаю...

Oleg Zubelevich, замечание за бессодержательное сообщение.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #746423 писал(а):

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

вот и ответьте на этот вопрос сами

[_hum_]

Munin в сообщении #746423 писал(а):

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

Как минимальная топология над объединением топологий соответствующих пространств. Не?

[Munin]

Я так понимаю, по этому определению, интервал на одной оси, включающий начало координат, является открытым множеством в одной топологии, ergo открытым множеством в объединении топологий, ergo открытым множеством в минимальной топологии над этим объединением?

[_hum_]

Munin

Если вопрос про изначальную постановку ТС проблемы, то там же под

MagzhanZ в сообщении #746293 писал(а):

объединение двух координатных осей в $R^2$

понималось, если не ошибаюсь, объединение координатных осей как обычных множеств с наследуемой на этом объединении топологией из $R^2$.

[Munin]

Во-о-о, спасибо. А теперь это можно предложить ТС-у как руководство к действию.

[MagzhanZ]

Что такое ТС?
У меня возникло такая мысль: предположим, что окрестность начала координат (содержит скажем точки $A, B$, лежащих на разных осях) гомеоморфен какой-то области в $R^n$, но тогда в этой области можно выделить окрестность содержащую точку $A, B$, но не образ начала координат. Но любая окрестность содержащую $A, B$, содержит и начало координат. Верно?

[Munin]

MagzhanZ
ТС - это "Topic starter" - то есть, человек, начавший тему, в данном случае вы.

[Someone]

MagzhanZ в сообщении #746955 писал(а):

У меня возникло такая мысль: предположим, что окрестность начала координат (содержит скажем точки $A, B$, лежащих на разных осях) гомеоморфен какой-то области в $R^n$, но тогда в этой области можно выделить окрестность содержащую точку $A, B$, но не образ начала координат. Но любая окрестность содержащую $A, B$, содержит и начало координат. Верно?

Непонятное рассуждение.

А Вы определение многообразия знаете? Наверное, с этого надо начать. Сформулируйте, пожалуйста. Подозреваю, что после этого решение станет очевидным.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #746423 писал(а):

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

Да по-разному она может вводиться. Единственное ограничение — чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.
Если, например, эти два пространства являются подпространствами какого-то топологического пространства (как в обсуждаемом случае - обе прямые содержатся в одном $\mathbb R^2$), то на объединении тоже естественно задать топологию подпространства.
Например, если одно из двух пространств — пространство рациональных чисел со стандартной топологией, а другое — пространство иррациональных чисел со стандартной топологией, которые оба являются подмножествами числовой прямой $\mathbb R$, то на объединении естественно задать стандартную топологию $\mathbb R$.

Максимальную топологию на объединении топологических пространств можно определить таким образом (я напишу определение для общего случая). Пусть у нас имеется семейство топологических пространств $\{(X_{\alpha},\tau_{\alpha}):\alpha\in\mathfrak A\}$ ($X_{\alpha}$ — множество, $\tau_{\alpha}$ — топология на нём). Предполагаем, что выполнено условие согласованности: для любых $\alpha,\beta\in\mathfrak A$ обе топологии $\tau_{\alpha}$ и $\tau_{\beta}$ индуцируют на множестве $X_{\alpha\beta}=X_{\alpha}\cap X_{\beta}$ одну и ту же топологию: $\tau_{\alpha\beta}=\{U\cap X_{\alpha\beta}:U\in\tau_{\alpha}\}=\{U\cap X_{\alpha\beta}:U\in\tau_{\beta}\}$.
Далее на объединении $X=\bigcup\{X_{\alpha}:\alpha\in\mathfrak A\}$ определяем топологию $\tau$ таким образом: множество $U\subseteq X$ открыто тогда и только тогда, когда его пересечение с каждым $X_{\alpha}$ открыто в топологии $\tau_{\alpha}$, $\alpha\in\mathfrak A$. Эта топология будет максимальной.
Что касается минимальной топологии, то её, скорее всего, нет (я особо не вдавался в этот вопрос, но очень похоже, что, за исключением достаточно тривиальных случаев, минимальной топологии на объединении топологических пространств нет). Кстати, следует различать минимальную топологию (меньше которой нет) и наименьшую топологию (которая меньше всех других). Впрочем, это различие типично для частично упорядоченных множеств.

Для обсуждаемого в теме случая (крест из двух прямых на плоскости) максимальная топология совпадает с топологией подпространства плоскости.
Для объединения пространства рациональных чисел и пространства иррациональных чисел максимальная топология не совпадает со стандартной топологией числовой прямой.
Менее тривиальный пример. Рассмотрим семейство всех прямых на плоскости. Максимальная топология, которая на каждой прямой индуцирует стандартную топологию, не совпадает со стандартной топологией плоскости.

[_hum_]

Someone

(Оффтоп)

Someone в сообщении #747011 писал(а):

Да по-разному она может вводиться. Единственное ограничение — чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.

А откуда "ноги растут" у такого требования? Ведь вроде бы когда из нескольких вещей строят что-то новое, то минимальное требование - сохранение в построенном тех базовых свойств/результатов, которые были верны для каждой из вещей в отдельности. В случае с объединением топологических пространств это, например, сохранить непрерывность функций, заданных на этих пространствах. И здесь, вроде бы кажется, достаточно ограничиться минимальной над объединением топологий топологией.
Приведенное же требование скорее походит на обратный случай - когда свойство, характерное для целого, хотят сохранить и для отдельных частей, например, при переходе от рассмотрения непрерывной на объединении пространств функции к рассмотрению ее сужения на отдельное пространство хотят сохранить непрерывность.