Понятие многообразия

[Someone]

(_hum_)

_hum_ в сообщении #747019 писал(а):

А откуда "ноги растут" у такого требования? Ведь вроде бы когда из нескольких вещей строят что-то новое, то минимальное требование - сохранение в построенном тех базовых свойств/результатов, которые были верны для каждой из вещей в отдельности.

А это оно самое и есть. У топологического пространства два "базовых" свойства: его носитель (множество элементов данного пространства) и его топология. Это требование означает, что каждое из объединяемых пространств должно сохранить свой носитель (поэтому берётся объединение) и свою топологию (поэтому оно будет подпространством в объединённом пространстве). Если условие согласования топологий выполнено, то задача разрешима (обычно множеством разных способов). Если топологии не согласованы на попарных пересечениях, то задача неразрешима.

_hum_ в сообщении #747019 писал(а):

В случае с объединением топологических пространств это, например, сохранить непрерывность функций, заданных на этих пространствах.

Про функции — это другая задача, которую надо ещё внятно сформулировать. Но если топологии на объединяемых пространствах сохраняются, то и непрерывность функций на них сохраняется. Кстати, вовсе не во всяком топологическом пространстве топология определяется функциями (я имею в виду функции, принимающие значения в множестве действительных чисел).

_hum_ в сообщении #747019 писал(а):

И здесь, вроде бы кажется, достаточно ограничиться минимальной над объединением топологий топологией.

Если объединяемые топологические пространства попарно не пересекаются, то "минимальная над объединением" топология совпадает с той максимальной (среди топологий, сохраняющих топологии объединяемых пространств), которую я определял. Если же объединяемые пространства имеют непустые пересечения, то возникают всякие нюансы. Попробуйте разобраться, какая топология получится для объединения двух пересекающихся прямых, которое обсуждается в этой теме. Вас ждёт сюрприз.

_hum_ в сообщении #747019 писал(а):

Приведенное же требование скорее походит на обратный случай - когда свойство, характерное для целого, хотят сохранить и для отдельных частей, например, при переходе от рассмотрения непрерывной на объединении пространств функции к рассмотрению ее сужения на отдельное пространство хотят сохранить непрерывность.

У Вас какая-то вывернутая наизнанку логика. При ограничении функции, непрерывной на топологическом пространстве, на произвольное подпространство, непрерывность сохраняется. И не всегда можно продолжить непрерывную функцию с подпространства на всё пространство с сохранением непрерывности. Кстати, если мы откажемся от сохранения топологий при объединении, то задача станет тривиальной: мы просто зададим на объединении любую топологию, которая придёт в голову. Возможно, я не понял, что Вы хотели здесь сказать.

[MagzhanZ]

Someone
Метрическое пространство М называется $n$-мерным многообразием (или просто многообразием), если каждая его точка $P$ содержится в окрестности $U\subset M$, гомеоморфной некоторой области $V$ евклидова пространства $R^n$. Определение из Мищенко, Фоменко.

[Someone]

Ну да. Обычно всё-таки связности требуют. У Мищенко с Фоменко там, случайно, где-нибудь связность не упоминается? У меня этой книги нет. Впрочем, это в данный момент второстепенный вопрос.
Кстати, почти очевидно, что в качестве $V$ можно всегда можно брать открытый шар (для одномерного многообразия - интервал числовой прямой; но интервал - это тоже шар, хоть и одномерный).

Ну так у этого "креста" из двух прямых с этими окрестностями всё в порядке? У каждой точки есть окрестность, гомеоморфная открытому шару (или интервалу)?

[Munin]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #747011 писал(а):

Да по-разному она может вводиться. Единственное ограничение — чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.

К данному случаю, вроде бы, это требование не относится. Видимо, всё-таки вариант _hum_ более простой и более подходящий к интуитивному пониманию формулировки задачи.

То же иллюстрируется вашим примером "объединение пространства рациональных чисел и пространства иррациональных чисел".

[MagzhanZ]

Это декартово произведение интервалов?

[Munin]

Someone в сообщении #747087 писал(а):

Ну да. Обычно всё-таки связности требуют. У Мищенко с Фоменко там, случайно, где-нибудь связность не упоминается?

Бывают связные (0-связные) определения многообразия, а бывают не связные (0-связные). Это всего лишь отличается на то, допускаются ли многообразия, состоящие из нескольких компонент связности, или нет. В одних случаях удобно одно, в других - другое, поэтому в разных книгах по-разному. Вариант без требования связности бывает реже, но всё-таки встречается.

Разумеется, это всего лишь определения разных объектов, так что противоречий здесь нет.

[Someone]

MagzhanZ в сообщении #747098 писал(а):

Это декартово произведение интервалов?

Что-то Вас куда-то потянуло... Декартово произведение интервалов гомеоморфно плоскости, у Вас же, как я понял, объединение двух прямых. Вас пугает очень простое решение? Оно у Вас фактически написано в стартовом сообщении, только вместо последнего дурного абзаца про число компонент связности у многообразия (их на самом деле либо одна, если мы в определении многообразия требуем связности, либо сколько угодно, если не требуем) нужно написать, есть ли у точки пересечения прямых окрестность, гомеоморфная открытому шару пространства $\mathbb R^n$ при каком-нибудь целом $n\geqslant 0$, и сделать соответствующий вывод.

(Munin)

В определении многообразия можно много чего не требовать, если это зачем-то нужно, я просто поинтересовался, не пропустил ли MagzhanZ что-нибудь в определении. Обычно связность всё-таки требуют.
Если связности не требовать, то возникает ещё развилка: требовать ли, чтобы все компоненты связности имели одинаковую размерность, или не требовать.
Отказ от связности многообразия не выглядит существенным обобщением, поскольку каждая компонента связности будет связным многообразием, причём, разные компоненты связности между собой никак не взаимодействуют.

Munin в сообщении #747097 писал(а):

К данному случаю, вроде бы, это требование не относится. Видимо, всё-таки вариант _hum_ более простой и более подходящий к интуитивному пониманию формулировки задачи.

"Более простой и более подходящий к интуитивному пониманию формулировки задачи" вариант был сформулирован в сообщении _hum_. Я с ним совершенно согласен, и "моё" требование в этом случае благополучно выполнено. То, что он же написал в другом сообщении ("здесь, вроде бы кажется, достаточно ограничиться минимальной над объединением топологий топологией"), является неудачным, поскольку даёт другую топологию.

Вообще, я в первую очередь для Вас написал, как можно определять топологию на объединении топологических пространств (а не просто множеств), к решению обсуждаемой задачи это имеет достаточно отдалённое отношение.

[Munin]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #747128 писал(а):

"Более простой и более подходящий к интуитивному пониманию формулировки задачи" вариант был сформулирован в сообщении _hum_. Я с ним совершенно согласен, и "моё" требование в этом случае благополучно выполнено.

Значит, я не уловил, как оно выполнено. Если "крест" наделяется топологией, индуцированной с топологии плоскости, то окрестности начала координат - это "крестики". Но если одна ось является подпространством в "кресте", то должны быть окрестности начала координат - "палочки" ("минусики"). Но им неоткуда взяться. Отсюда я заключил, что ваше требование

Someone в сообщении #747011 писал(а):

чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.

не было выполнено.

-- 18.07.2013 15:18:39 --

P. S.

Munin в сообщении #747133 писал(а):

Но если одна ось является подпространством в "кресте", то должны быть окрестности начала координат - "палочки" ("минусики").

Наверное, я здесь ошибся. Забыл, что линия - подпространство в плоскости.

[Someone]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #747133 писал(а):

Значит, я не уловил, как оно выполнено. Если "крест" наделяется топологией, индуцированной с топологии плоскости, то окрестности начала координат - это "крестики". Но если одна ось является подпространством в "кресте", то должны быть окрестности начала координат - "палочки" ("минусики"). Но им неоткуда взяться.

Поясню дальше. Если у нас есть топологическое пространство $X$ и его подмножество $Y$, то топология подпространства на $Y$ получается так: открытые множества в $Y$ - это пересечения всевозможных открытых множеств пространства $X$ с множеством $Y$: $\tau_Y=\{U\cap Y:U\in\tau_X\}$.

Если Вы возьмёте "крестик" и пересечёте его с вертикальной прямой, Вы и получите "палочку".

[_hum_]

Someone

(Оффтоп)

Someone в сообщении #747066 писал(а):

А это оно самое и есть. У топологического пространства два "базовых" свойства: его носитель (множество элементов данного пространства) и его топология. Это требование означает, что каждое из объединяемых пространств должно сохранить свой носитель (поэтому берётся объединение) и свою топологию (поэтому оно будет подпространством в объединённом пространстве).

Но разве сохранение топологии не означает просто выполнение условия "открытые в исходной топологии множества должны остаться открытыми и в новой топологии"? А для его выполнения достаточно просто взять какую-нибудь топологию, содержащую исходные. Например, минимальную над объединением топологий. Условие, чтобы вводимая топология объединения была согласована с исходными еще и в смысле отношения "топология пространства - топология подпространства", (на мой взгляд неспециалиста) кажется более сильным.

Someone в сообщении #747066 писал(а):

Про функции — это другая задача, которую надо ещё внятно сформулировать.

Что-то типа:
для всякой непрерывной функции $f: (X_\alpha, \tau_\alpha) \rightarrow Y$ любое ее продолжение $ \overset{\_}{f}: (X, \tau) \rightarrow Y$ должно быть непрерывным на $X_\alpha \subset X$.

Someone в сообщении #747066 писал(а):

У Вас какая-то вывернутая наизнанку логика. [...] Возможно, я не понял, что Вы хотели здесь сказать.

Я хотел сказать, что требование согласованности в смысле "топология пространства - топология подпространства", как мне видится, обычно появляется в случаях, когда уже есть топологическое пространство, а потом, по мере работы, появляется потребность в рассмотрении некоторых его подмножеств, наделенных своей топологией. И хочется, чтобы хорошие свойства исходного пространства переносились и на них. Например, хочется, чтобы сужение непрерывной функции на такое подмножество давало непрерывную в его топологии функцию. Что-то типа:

для всякой непрерывной функции $g: (X, \tau) \rightarrow Y$ ее сужение $\underset{-}{g}: (X_\alpha, \tau_\alpha) \rightarrow Y$ должно быть непрерывным.

В вопросе же

Munin в сообщении #746423 писал(а):

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

как мне кажется, несколько иная ситуация, подобная той, что описывалась ранее (когда мы идем от частного к общему - от подмножеств к объединению, от функций к их расширению), а потому ваше:

Someone в сообщении #747011 писал(а):

ограничение — чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.

выглядит здесь не очень естественным и понятным.

[Someone]

_hum_ в сообщении #747171 писал(а):

В вопросе же

Munin в сообщении #746423 писал(а):

А как вводится топология на объединении двух топологических пространств?

как мне кажется, несколько иная ситуация, подобная той, что описывалась ранее (когда мы идем от частного к общему - от подмножеств к объединению, от функций к их расширению), а потому ваше:

Someone в сообщении #747011 писал(а):

ограничение — чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.

выглядит здесь не очень естественным и понятным.

Почему-то Вы упорно стремитесь отвечать не на тот вопрос, который задан. Вопрос ведь об объединении топологических пространств, а не просто множеств. То есть, полученное в результате объединения топологическое пространство должно быть объединением именно тех пространств, которые заданы, а не каких-то других, пусть даже и с теми же носителями. Уже по этой причине топологии на заданных пространствах должны сохраняться. Причём здесь вообще какие-то функции, независимо от того, что под этим понимать? К тому же, Вы так и не сформулировали внятно свою задачу.

_hum_ в сообщении #747171 писал(а):

Что-то типа:
для всякой непрерывной функции $f: (X_\alpha, \tau_\alpha) \rightarrow Y$ любое ее продолжение $ \overset{\_}{f}: (X, \tau) \rightarrow Y$ должно быть непрерывным на $X_\alpha \subset X$.

Это, за исключением тривиальных случаев, не всегда осуществимо (кстати, чёрточка над буквой ставится командой \bar, а если нужна длинная над несколькими буквами — то \overline{буквы}: $\bar ABC\ \overline ABC\ \overline{ABC}$), тем более — для любого продолжения и в любое топологическое пространство. Даже хотя бы какое-нибудь непрерывное продолжение функции (в заданное топологическое пространство) с подпространства на всё пространство существует не всегда.

Тривиальный случай, когда это осуществимо — это когда объединяемые пространства попарно не пересекаются. Но в этом случае Ваше определение в точности эквивалентно моему.

_hum_ в сообщении #747171 писал(а):

Но разве сохранение топологии не означает просто выполнение условия "открытые в исходной топологии множества должны остаться открытыми и в новой топологии"?

Нет, конечно. Я же Вам советовал разобрать случай объединения двух пересекающихся прямых. Если бы Вы это сделали, Вы бы увидели, что Ваше определение не сохраняет топологии на заданных прямых.

[Oleg Zubelevich]

Пусть имеются два топологических пространства $(X_i,\tau_i),\quad i=1,2$ В пространстве $X=X_1\cup X_2$ можно ввести
1) сильнейшую топологию при которой вложения $X_i\to X$ непрерывны.
2) слабейшую из топологий $\tau$ таких, что $\tau\mid_{X_i}=\tau_i$

-- Чт июл 18, 2013 19:51:40 --

надо подумать это одно и тоже или нет

[_hum_]

Someone

(Оффтоп)

Someone в сообщении #747224 писал(а):

Почему-то Вы упорно стремитесь отвечать не на тот вопрос, который задан. Вопрос ведь об объединении топологических пространств, а не просто множеств. То есть, полученное в результате объединения топологическое пространство должно быть объединением именно тех пространств, которые заданы, а не каких-то других, пусть даже и с теми же носителями. Уже по этой причине топологии на заданных пространствах должны сохраняться. Причём здесь вообще какие-то функции, независимо от того, что под этим понимать? К тому же, Вы так и не сформулировали внятно свою задачу.

Вы сами сказали, что строгого определения термина "объединение топологических пространств" нет, и дискуссия именно о том, что считать естественнее для его определения:
вариант 1 (мой): объединенный носитель с топологией, порожденной объединением топологий (минимальной топологией над объединением топологий);
вариант 2 (ваш): объединенный носитель с некоторой топологией, которая согласована с топологиями исходных пространств по соотношению "топология пространства - топология подпространства", например, ваш вариант "максимальной топологии" из сообщения #747011.

Цитата:

_hum_ в сообщении #747171 писал(а):

Что-то типа:
для всякой непрерывной функции $f: (X_\alpha, \tau_\alpha) \rightarrow Y$ любое ее продолжение $ \overset{\_}{f}: (X, \tau) \rightarrow Y$ должно быть непрерывным на $X_\alpha \subset X$.

Это, за исключением тривиальных случаев, не всегда осуществимо, тем более — для любого продолжения и в любое топологическое пространство.

Опять вы не поняли. Я привел задачу продолжения, просто чтобы показать пример проблемы, в связи с которой может возникнуть потребность в использовании определения по варианту 1: какую топологию $\tau$ ввести, чтобы приведенное выше условие для продолжения выполнялось? Естественно, ту, что содержит все открытые множества исходных топологий. А самая "маленькая" из таковых - минимальная над объединением топологий.

И просто хотел от вас услышать какой-нибудь аналогичный пример, который бы естественно приводил к потребности трактовки объединения пространств по варианту 2, чтобы стало понятно, откуда могут "расти ноги" у

Someone в сообщении #747011 писал(а):

ограничение — чтобы каждое из этих пространств являлось подпространством в объединении.

Цитата:

Даже хотя бы какое-нибудь непрерывное продолжение функции (в заданное топологическое пространство) с подпространства на всё пространство существует не всегда.

Непрерывное продолжение - значительно более жесткое условие, и речи о нем выше у меня нигде не шло.

Цитата:

_hum_ в сообщении #747171 писал(а):

Но разве сохранение топологии не означает просто выполнение условия "открытые в исходной топологии множества должны остаться открытыми и в новой топологии"?

Нет, конечно. Я же Вам советовал разобрать случай объединения двух пересекающихся прямых. Если бы Вы это сделали, Вы бы увидели, что Ваше определение не сохраняет топологии на заданных прямых.

Как бы я увидел, что "определение не сохраняет топологии на заданных прямых", если я никак не могу понять, что означает в вашем понимании "сохраняет топологию" :))