Прошу проверить решение системы уравнений

[Koncopd]

Здравствуйте, прошу помочь с проверкой решения такой системы уравнений:
$ \left\{ \begin{aligned} 8\sin{2y}-\cos{4y}&=9+\cos^2{x}\\ x^2&=4y^2.\\ \end{aligned} \right. $
Как решал:
$ \left\{ \begin{aligned} 8\sin{2y}-\cos{4y}&=9+\cos^2{x}\\ x & = \pm2y.\\ \end{aligned} \right. $
По формуле двойного угла.
$ \left\{ \begin{aligned} 8\sin{2y}+2\sin{2y}-10&=\cos^2{x}\\ x & = \pm2y.\\ \end{aligned} \right. $
Подставил $2y$ или $-2y$ в $\cos^2{x}$, вроде бы без разницы, так как $\cos{2y}&=\cos{(-2y)}$
Заменил $\cos^2{2y}$ на $1-\sin^2{2y}$ в первом уравнении и перенес в левую часть.
$ \left\{ \begin{aligned} 3\sin^2{2y}+8\sin{2y}-11&=0\\ x & = \pm2y.\\ \end{aligned} \right. $
Решил первое уравнение заменой, получил корни $\sin{2y}&=1$ и $\sin{2y}&=-\frac{11}{3}$, второй корень отбрасываем.
Получается, что $\sin{2y}&=1$, $y&=\frac{\pi}{4}+\pi n$
И ответ:
$ \left\{ \begin{aligned} y&=\frac{\pi}{4}+\pi n\\ x&=\pm (\frac{\pi}{2}+2\pi n).\\ \end{aligned} \right. $
Вопрос в том, допущена ли где-либо ошибка при решении или все верно?

[iifat]

Да вроде верно (арифметику не проверял). Упрощается, по-моему, до $x=\frac\pi2+\pi n$

[Алексей К.]

Koncopd в сообщении #746006 писал(а):

По формуле двойного угла.

После этих слов --- ошибка (опечатка), далее исправленная.

[NhSsUe]

еще можно сразу заметить, что корень $3\sin^2(2y)+8\sin(2y)-11=0$ будет при $\sin(2y)=1$, ввиду области значений $\sin$.

[Koncopd]

Спасибо большое всем за ответы.

iifat в сообщении #746008 писал(а):

Да вроде верно (арифметику не проверял). Упрощается, по-моему, до $x=\frac\pi2+\pi n$

Может глупый вопрос, но каким образом упрощать?

[Алексей К.]

Для начала выписать списочек, скажем, для $n=-2,-1,0,1,2$, проверить, так это, или нет. Если так, то подумать над формальным рассуждением. Оно в процессе проверке должно бы в голове нарисоваться.

[iifat]

Полезно ещё нарисовать простенький рисуночек с точками на окружности.