Сумма n первых натуральных чисел

[Ferma]

Встречается ли где задача и какими способами она решается:
Найти число членов последовательности натуральных чисел, сумма которых равна квадрату числа?
Например, $1+2+3+4+5+6+7+8=6^2$
Я решал с помощью уравнения Пелля, где мне не понятно откуда взялись 3x+4y и 2x+3y пока не дошел до чисел Ферма.

[svv]

Иными словами, Вы ищете индексы (номера) треугольных чисел, одновременно являющихся квадратными.
Здесь A001108 про индексы таких треугольных чисел (у Вас это — число слагаемых)
Здесь A001110 про сами такие треугольные числа (у Вас это — суммы)

[Батороев]

Эквивалентно уравнению: $a_n^2-2b_n^2=\pm1$,
решения которого равны:
$a_n=2a_{n-1}+b_{n-1}$;
$b_n=a_{n-1}+b_{n-1}$;
$a_1=b_1=1$.

-- 12 июл 2013 00:06 --

p.s. Искомое треугольное число $T=(ab)^2$.

[Ferma]

Батороев
Давайте разбираться. Если тривиальных решений два (1,0) и (1,1), то и уравнений два. Хотя Вы тоже правы. Исходя из одного решения (1,1) и пользуясь подстановками поочередно получаете решения двух уравнений. Здесь у меня возникает вопрос: есть ли еще пары уравнений для которых существуют подобные этим подстановки, переводящих одно уравнение в другое? Если есть, как это свойство называть? А ведь можно обойтись без этой "чехарды". С помощью тех же подстановок, заменив коэффициенты( кстати коэффициент 2 ошибочно стоит не на втором месте) 1,1 и 1,2 на 2,3 и 3,4. Теперь каждое уравнение само по себе и начинается со своего тривиального решения.