Изоморфизм SU(2)/Z_2 и SO(3)

[ChaosProcess]

Собственно, мои рассуждения.
Несложно, но муторно доказать, что группа матриц $SU(2)$ может быть представлена в виде:

$$g= \begin{pmatrix} \cos{\psi_1}e^{i\psi_2} & \sin{\psi_1}e^{-i\psi_3} \\ -\sin{\psi_1}e^{i\psi_3} & \cos{\psi_1}e^{-i\psi_2} \\ \end{pmatrix}.$$

Т.е. она зависит от 3 параметров. Представитель класса эквивалентности факторгруппы $SU(2)/Z_2$ будет иметь вид:

$$gz= \begin{pmatrix} \cos{\psi_1}e^{i\psi_2} & \sin{\psi_1}e^{-i\psi_3} \\ -\sin{\psi_1}e^{i\psi_3} & \cos{\psi_1}e^{-i\psi_2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\psi_4} & 0 \\ 0 & e^{-i\psi_4} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos{\psi_1}e^{i(\psi_2+\psi_4)} & \sin{\psi_1}e^{-i(\psi_3+\psi_4)} \\ -\sin{\psi_1}e^{i(\psi_3+\psi_4)} & \cos{\psi_1}e^{-i(\psi_2+\psi_4)} \\ \end{pmatrix},\quad z\in Z_2$$

Как видим, класс эквивалентности будет параметризован уже 2 параметрами: $\psi_1$ и $(\psi_2-\psi_3)$.
В то же время $SO(3)$ параметризуется 3 углами Эйлера. Внимание, вопрос: где же тут изоморфизм между $SU(2)/Z_2$ и $SO(3)$?

[Xaositect]

$Z_2$ это же $\{E, -E\}$, а не $\left\{\left(\begin{matrix}e^{i\psi}& 0 \\ 0 & e^{-i\psi}\end{matrix}\right)\right\}$

[ChaosProcess]

Xaositect в сообщении #745850 писал(а):

$Z_2$ это же $\{E, -E\}$, а не $\left\{\left(\begin{matrix}e^{i\psi}& 0 \\ 0 & e^{-i\psi}\end{matrix}\right)\right\}$

эм.. извините, не понял
В данном случае под $Z_2$ понимается центр $SU(2)$. А центр $SU(2)$ представляет из себя матрицу, пропорциональную единичной, т.е.: $\begin{pmatrix}z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix}$. Определитель 1, поэтому $z^2=1.$ Так что, получим $\begin{pmatrix}e^{i\psi} & 0 \\ 0 & }e^{-i\psi} \end{pmatrix}.$

[Xaositect]

Откуда Вы получаете вот это последнее? $z^2 = 1$ значит $z = 1$ или $z = -1$. Матрицы получаются $E$ и $-E$ соответственно

[ChaosProcess]

Xaositect в сообщении #745854 писал(а):

Откуда Вы получаете вот это последнее? $z^2 = 1$ значит $z = 1$ или $z = -1$. Матрицы получаются $E$ и $-E$ соответственно

$z\in C.$

[Xaositect]

Это ничего не меняет, в $\mathbb{C}$ у уравнения $z^2 = 1$ все равно ровно два решения.

[ChaosProcess]

Я идиот.
Числа то на диагонали должны быть одинаковые.
Приношу извинения.