Доказать, что нет решений

[nnosipov]

angor6 в сообщении #745595 писал(а):

число $y^3$ не делится на число $x^2,$ число $y$ не делится на число $x.$ Стало быть, числа $y$ и $x$ - взаимно простые (?).

Нет, эти числа не обязаны быть взаимно простыми: возьмите $y=6$, $x=4$.

angor6 в сообщении #745595 писал(а):

Указанное выше выражение отражает факт взаимной простоты этих чисел.

Нет, не отражает, поскольку не доказано, что число $y^2/x$ является целым.

angor6 в сообщении #745595 писал(а):

Нет ли здесь логического противоречия, которое доказывает нерешаемость заданного уравнения в натуральных числах?

Противоречия здесь нет.

angor6 в сообщении #745595 писал(а):

Или столь элементарными средствами задача не решается?

Нет, такого рода рассуждения здесь не приводят к успеху.

[angor6]

nnosipov
А разве из того, что множитель $y$ не делится на $x,$ а произведение $y^3$ делится на $x,$ не следует, что второй множитель $y^2=\frac{y^3}{y}$ делится на $x$?

-- 13.07.2013, 11:00 --

nnosipov
А впрочем, да. Ведь мы не утверждаем, что число $x$ - простое. Извините!

[nnosipov]

(Оффтоп)

angor6 в сообщении #745631 писал(а):

Извините!

Не стоит извинений. Вы пытаетесь разобраться, а это всё рабочие моменты, совершенно нормальный процесс. Ведь главная цель --- разобраться.

[nnosipov]

Руст в сообщении #745484 писал(а):

Но тут можно запутаться с оценками, поэтому изменю решение через делимость
$(t+1)(t^2-t+1)=z^5(t^2-2z^4)$.
Так как $(t+1,t^2-t+1)|3$ и случай $z^5|3(t+1)$ при $z>2$ явно выходит из допустимого для решения интервала, остается проверить
$z^5|3(t^2-t+1)$. При $z^5|t^2-t+1$ решение не входит в соответствующий интервал $(\sqrt 2 z^2+z^{-1}, \sqrt 2 (z^2=z^{-1})$.
Это верно и в случае $3|z$ для делимости $z^5|3(t^2-t+1)$ при $z\ge 9$. Случаи $z=3$ и $z=6$ легко проверяется.

На самом деле и здесь провал. Банальная ошибка, но мы оба попались, увы. Руст, видите её?

[Руст]

nnosipov в сообщении #745675 писал(а):

Банальная ошибка, но мы оба попались, увы. Руст, видите её?

Не вижу. Поэтому повторю решение более подробно.
Мы перешди к уравнению

$$f(t)=t^3+1-z^5(t^2-2z^4)=f(t)=0.$$

При $z=1,2$ нет целых решений. Рассматриваем случай $z\ge 3$.
Один положительный корень в интервале $(z^5-1,z^5)$ и поэтому это решение не целое.
Другой положительный корень в интервале

$$(1) \ (\sqrt 2 z^2+z^{-1}, \sqrt 2 (z^2+z^{-1}))$$

. Третий отрицательный пока нас не интересует.

$(t^3+1=(t+1)(t^2-t+1), (t+1,t^2-t+1)|3$. Соответственно $z^5$ или $\frac{z^5}{3}$ в случае деления z на 3, должен делить один из сомножителей. В случае делимости первого сомножителя $t+1$ значение $t$ явно выходит за оставшийся не проверенным интервал (1).
Если $z^5$ или $\frac{z^5}{3}$ (при $3|z$) делит второй множитель, то $t>z^{5/2}$ или $t>z^{5/2}/\sqrt 3$ (при $3|z$). Ясно, что в случае $3\not|z$ мы выходим за интервал. В случае $3|z$ надо проверить случаи $\frac{z}{3}=1,2$.
Я не вижу ляпов. Может быть от выпитого пива?

[nnosipov]

Руст в сообщении #745720 писал(а):

Соответственно $z^5$ или $\frac{z^5}{3}$ в случае деления z на 3, должен делить один из сомножителей.

Это верно только для простых $z$

[Руст]

nnosipov в сообщении #745737 писал(а):

Руст в сообщении #745720 писал(а):

Соответственно $z^5$ или $\frac{z^5}{3}$ в случае деления z на 3, должен делить один из сомножителей.

Это верно только для простых $z$

Да, это только для степеней простых. Все равно это не простительная ошибка для опытного форумчанина.

Приходится проверять утомительное дальнейшие приближения.
$t^2-2z^4=2\sqrt z +o(1)$.
Возводя в квадрат $(t^2-2z^4)^2=8z^2+k$.
Отсюда $t^2-2z^4=2\sqrt 2 z+\frac{\sqrt 2 k}{8z}+O(z^{-2})$ и
$t=\sqrt 2 z^2+z^{-1}+\frac{k}{8z^3}+O(z^{-4})$.
Более точная оценка показывает, что $t=\sqrt 2 z^2+z^{-1}+\frac{5\sqrt 2}{4}z^{-4}+o(z^{-4})$.
Поэтому, начиная уже с некоторого $z$ даже для $k=1$ выйдем за пределы допустимого интервала.
Надо численно проверить для некоторых $z$ примерно до 5.

[nnosipov]

Руст в сообщении #745752 писал(а):

Возводя в квадрат $(t^2-2z^4)^2=8z^2+k$.
Отсюда $t^2-2z^4=2\sqrt 2 z+\frac{\sqrt 2 k}{8z}+O(z^{-2})$ и
$t=\sqrt 2 z^2+z^{-1}+\frac{k}{8z^3}+O(z^{-4})$.
Более точная оценка показывает, что $t=\sqrt 2 z^2+z^{-1}+\frac{5\sqrt 2}{4}z^{-4}+o(z^{-4})$.

Да, вот теперь действительно всё окей.

[timots]

Еще один вариант решение задачи:
Предположим что $ x, y$ непрерывные величины.
Продифференцируем. После трехразового дифференцированья получим такую зависимость:
$ 2F(y)=6F(x)+1$
Ясно из этой зависимость, что одновременно целыми $ x, y$ быть не могут.

[Руст]

Чушь.
А если мы добавили константу так, чтобы было решение?

[timots]

Руст
Мое решение основано на том, что многочлен в левой части уравнения имеет большую степень, чем многочлен в правой части уравнения.
Коэффициенты здесь ни причем, так как производная от постоянной будет равна нулю.
Подобное решение будет общим для целого ряда однотипных уравнений.
Но чтобы получить из нецелого числа целое нужно прибавить к нему целое число. Иррациональное число может быть корнем целого числа, но здесь разная степень.

(Оффтоп)

Можете добавить константу и поискать решения в целых числах.

[nnosipov]

timots в сообщении #746028 писал(а):

Мое решение ...

Какое там решение, не смешите. Не засоряйте тему всякой ерундой в стиле "в огороде бузина, а в Киеве дядька".

[nnosipov]

Сделаю пару замечаний.

1. Ту ветвь $t=t(z)$ корня уравнения $t^3+1=z^5(t^2-2z^4)$, для которой справедлива оценка $\sqrt{2}z^2<t<\sqrt{2}z^2+1$, можно обработать, составив выражение

$$ k_1=zt^2-2t-2z^5=\frac{t(t^3+1)}{z^9}+\frac{1}{z^4}, $$

которое попадает в интервал $(0;1)$, начиная с $z=5$. Это в чистом виде метод Рунге, и здесь нужно разлагать $t(z)$ в ряд.
2. Можно предварительно переписать исходное уравнение $x^2(y^2-2x^2)=y^3+x$ в виде $X^2=Y^2+Z$, где

$$ X=y^2-x^2-3y, \quad Y=3x^2-y^2+y, \quad Z=8y^2+4x. $$

Далее следует зажать $Y^2+Z$ между двумя последовательными квадратами, пользуясь ограниченностью отношения $Z/Y$ при $x \to +\infty$. Такой подход представляется более элементарным, поскольку не требует разложения ветви корня $y=y(x)$ (достаточно грубых оценок с точностью до константы).