Доказать, что нет решений

[nnosipov]

Речь идёт об уравнении $x^2(y^2-2x^2)=y^3+x$, у которого нет решений в натуральных числах.

Как бы это доказать попроще? Мне известен один способ доказательства, но, может быть, есть более элементарный подход?

[angor6]

nnosipov
Попробовал решить задачу и получил, что если разделить обе части заданного уравнения на $y^2-2x^2$, то число $x^2$ является делителем числа $y^3.$ Тогда $x$ должно делиться на $x^2,$ что возможно при $x=1.$ Но после подстановки этого значения в заданное уравнение получится, что $y^3-y^2<0,$ чего при натуральном $y$ не может быть.

[nnosipov]

angor6 в сообщении #745399 писал(а):

если разделить обе части заданного уравнения на $y^2-2x^2$, то число $x^2$ является делителем числа $y^3.$

Если разделить обе части уравнения на $y^2-2x^2$, то получим

$$ x^2=\frac{y^3+x}{y^2-2x^2}. $$

Как отсюда следует, что $y^3$ делится на $x^2$?

[Руст]

Элементарьное решение в аппроксимации архимедовой и неархимедовой норме.
Вначале заметим, что из $p|x$ следует $p|y$ и посчитав степени по p получаем $x=z^3,y=tz$.
Соответственно уравнение приводится к виду $f(t)=t^3+1-t^2z^5+2z^9=0$.
Заметим, что $f(z^5=1+2z^9>0$ и $f(z^5-1)=z^5(2+2z^4-z^5)<0$ при $z>2$.
Легко проверяется, что при $z=1,2$ нет целого решения для t. Соответственно больший корень для $t$ между $z^5-1<t<z$ не целое.
Другие корни близки к $\pm \sqrt 2 z^2$.
$f(\sqrt 2 z^2)=2\sqrt 2 z^6+1>1$
$f(\sqrt 2 (z^2+z^{-1}))=-(4-2\sqrt 2)z^6+(6\sqrt 2-2)z^3+6\sqrt 2 +2\sqrt 2 z^{-1}<0$ при $z>2$.
Легко показать, что в интервале $(\sqrt 2 z^2, \sqrt 2 z^2+\sqrt 2 z^{-1})$ нет целых чисел.

[nnosipov]

Руст в сообщении #745470 писал(а):

Легко показать, что в интервале $(\sqrt 2 z^2, \sqrt 2 z^2+\sqrt 2 z^{-1})$ нет целых чисел.

Покажите, а там посмотрим.

Впрочем, показать не удастся: целые числа в этом интервале есть.

[Руст]

nnosipov в сообщении #745475 писал(а):

Руст в сообщении #745470 писал(а):

Легко показать, что в интервале $(\sqrt 2 z^2, \sqrt 2 z^2+\sqrt 2 z^{-1})$ нет целых чисел.

Покажите, а там посмотрим.

Впрочем, показать не удастся: целые числа в этом интервале есть.

Я со степенью z немного перепутал при $z^{-2}$ можно показать.
Можно оценить корень точнее, сузив интервал. Например $f(\sqrt 2 z^2+z^{-1})>0$ и добавив величину порядка $z^{-2}$ получим отрицательное значение $f(t)$.
Но тут можно запутаться с оценками, поэтому изменю решение через делимость
$(t+1)(t^2-t+1)=z^5(t^2-2z^4)$.
Так как $(t+1,t^2-t+1)|3$ и случай $z^5|3(t+1)$ при $z>2$ явно выходит из допустимого для решения интервала, остается проверить
$z^5|3(t^2-t+1)$. При $z^5|t^2-t+1$ решение не входит в соответствующий интервал $(\sqrt 2 z^2+z^{-1}, \sqrt 2 (z^2=z^{-1})$.
Это верно и в случае $3|z$ для делимости $z^5|3(t^2-t+1)$ при $z\ge 9$. Случаи $z=3$ и $z=6$ легко проверяется.

[nnosipov]

Руст в сообщении #745484 писал(а):

Я со степенью z немного перепутал при $z^{-2}$ можно показать.

Сомневаюсь, что это вообще верно.

Руст в сообщении #745484 писал(а):

через делимость
$(t+1)(t^2-t+1)=z^5(t^2-2z^4)$.

Вот здесь всё окей, спасибо. Помогло случайное обстоятельство: $t^3+1$ разлагается на множители. А как быть с уравнением $x^2(y^2-2x^2)=y^3+2x$?

[Руст]

nnosipov в сообщении #745488 писал(а):

Помогло случайное обстоятельство: $t^3+1$ разлагается на множители. А как быть с уравнением $x^2(y^2-2x^2)=y^3+2x$?

я же указал, что это уравнение приводит к $x=z^3, y=tz$ и вышеуказанному уравнению.

Извиняюсь, не заметил, что последний коэффициент изменился.
Если $y$ четное, то $x=4z^3$ и приводится к $t^3+8$ вместо $t^3+1$.
Если $y$ нечетное, то приводится $x=z^3, y=tz$
к уравнению $t^3+2-t^2z^5+2z^9$. Тогда разложения нет и придется более точной аппроксимацией действительного корня показать, что нет целочисленного решения.

[angor6]

nnosipov
Если выполнить указанное мной деление, то получим

$x^2=y+x\frac{1+2xy}{y^2-2x^2},$

откуда следует, что $y$ делится на $x.$ Следовательно, и $y^2,$ и $y^3$ делятся на $x^2.$

[Руст]

Отсюда получается только $x|y^3$ и то лучше расписать без дроби.

[angor6]

Руст

Руст в сообщении #745518 писал(а):

Отсюда получается только $x|y^3$ и то лучше расписать без дроби.

Слева в выражении находится натуральное число $x^2,$ которое делится на $x.$ Справа тоже должна находиться сумма двух натуральных чисел. Число $x\frac{1+2xy}{y^2-2x^2},$ будучи натуральным, делится на $x.$ Тогда и второе слагаемое - число $y$ - делится на $x.$ Тогда числа $y^2$ и $y^3$ делятся на $x^2.$

[Руст]

angor6 в сообщении #745532 писал(а):

. Число $x\frac{1+2xy}{y^2-2x^2},$ будучи натуральным, делится на $x.$

Не верно.
Пример $x=27, y=39$. Число $27*\frac{1+2*27*39}{39^2-2*27^2}=2103$ натуральное, но не делится на 27. Только куб этого числа делится на 27.

[angor6]

Руст
Конечно, Вы правы.

[nnosipov]

Руст в сообщении #745496 писал(а):

придется более точной аппроксимацией действительного корня показать, что нет целочисленного решения.

На самом деле достаточно тех же грубых оценок, причём всё это можно (и даже удобнее) делать с исходным уравнением. Переход к новым неизвестным иногда даёт халявный способ решения (как и оказалось в случае с уравнением $x^2(y^2-2x^2)=y^3+x$), но это не всегда видно сразу.

[angor6]

Руст
Позвольте поинтересоваться. После деления обеих частей заданного уравнения на число $x,$ которое, очевидно, является наибольшим общим делителем чисел $y^3$ и $x,$ получим уравнение $x(y^2-2x^2)=\frac{y^3}{x}+1.$ Это уравнение можно записать так:

$x(y^2-2x^2)-y\frac{y^2}{x}=1,$

В своём сообщении Вы указали, что число $y^3$ не делится на число $x^2,$ число $y$ не делится на число $x.$ Стало быть, числа $y$ и $x$ - взаимно простые (?). Указанное выше выражение отражает факт взаимной простоты этих чисел. Число $\frac{y^2}{x}$ должно быть целым. Нет ли здесь логического противоречия, которое доказывает нерешаемость заданного уравнения в натуральных числах?

(Оффтоп)

Извините, если я показался Вам назойливым. Для себя я занимаюсь самообразованием по математике - единственная приемлемая для меня альтернатива пьянству -, но до теории чисел ещё не дошёл, штудирую учебники первого и второго семестров для математических факультетов. Поэтому элементарными для меня являются представления на уровне средней школы. Ими я и пытаюсь оперировать при решении этой задачи. Или столь элементарными средствами задача не решается?