Будет ли блуждание +-1 периодическим?

[Slumber]

Просто случайное блуждание по идее периодическое и имеет период 2. А если у нас случайное блуждание или неодинаково распределенный процесс рождения-гибели, с вообще любыми вероятностями
$q_{i,i+1}=\beta_i$
$q_{i,i}=\rho_i$
$q_{i,i-1}=\delta_i$
Будет ли оно всегда периодическим, если инкременты $\pm 1$? Все траектории для нуля точно имеют НОД 2.
Просто как-то странно, может я не понимаю. Если бы было периодическим это везде должно было быть написано.

А если стартуем из нечетной точки? Может в этом дело? Тогда хотя бы ноль можно сделать непериодическим?
-----
Кстати, вот если заменять матрицу перехода $P$ на $\frac{1}{2}(P+I)$, как предлагают тут
http://eventuallyalmosteverywhere.wordpress.com/tag/birth-death-process/
Как это повлияет на распределение? Оно что, не становится совсем другим?

[svv]

Slumber в сообщении #745402 писал(а):

Просто случайное блуждание по идее периодическое и имеет период 2.

Что Вы имеете в виду? Не нахожу никакой осмысленной интерпретации.

[Slumber]

svv в сообщении #745459 писал(а):

Slumber в сообщении #745402 писал(а):

Просто случайное блуждание по идее периодическое и имеет период 2.

Что Вы имеете в виду? Не нахожу никакой осмысленной интерпретации.

Простое случайное блуждание $P(\pm 1)=1/2$ периодично с периодом 2. По определению периода как НОД для длин всех траекторий для возврата в это состояние.
[url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Периодическое_состояние[/url]

Написано, например тут стр17 вверху в Exercise 3.2 http://websites.math.leidenuniv.nl/probability/lecturenotes/CouplingLectures.pdf
И вроде тут http://www.math.msu.su/department/matstat/Materials/Shklyaev/Shklyaev%20-%20Stochastic%20Proc%202013%20-%20S3.pdf
на второй странице внизу.
"Например, у случайного блуждания, переходящего только по соседним точкам, все состояния периодические с периодом 2".

Собственно об этом и хотелось поговорить.

[Someone]

Здесь наблюдается какое-то странное недоразумение.

Речь идёт о периодических состояниях цепи Маркова, а не о периодических блужданиях.

Slumber в сообщении #745402 писал(а):

$q_{i,i+1}=\beta_i$
$q_{i,i}=\rho_i$
$q_{i,i-1}=\delta_i$

Если цепь с Вашими вероятностями неразложимая и хотя бы одно $\rho_i>0$, то периодических состояний не будет, а если все $\rho_i=0$, то все состояния будут иметь период $2$.

[Slumber]

Цитата:

Если цепь с Вашими вероятностями неразложимая и хотя бы одно $\rho_i>0$, то периодических состояний не будет

.

Ух ты, это мне очень поможет. А где это можно прочесть, чтобы я мог сослаться?

-- 12.07.2013, 20:16 --

Википедия говорит

Цитата:

Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи.

Пусть все переходные вероятности ненулевые, тогда она неразложимая, и тогда, выходит, для $\rho_i=0 \ \forall i$ период цепи равен 2. И цепь в этом случае периодическая? Или это не то?

[Someone]

Slumber в сообщении #745487 писал(а):

А где это можно прочесть, чтобы я мог сослаться?

Чего там читать-то, это совершенно тривиальное утверждение. Вы понимаете, что означает неравенство $q_{i,i}>0$ в Ваших обозначениях?

[Slumber]

Цитата:

Чего там читать-то, это совершенно тривиальное утверждение. Вы понимаете, что означает неравенство $q_{i,i}>0$ в Ваших обозначениях?

Время пути может быть любым из-за неограниченного залипания на месте.
Но это никак не повлияет на форму траектории, так сказать.

-- 12.07.2013, 21:25 --

Просто вот этот же пример 3.2 по первой ссылке - появится или не появится сходимость, если будут ненулевые вероятности залипания.

Знаем, что для вероятностей $1/2,0,1/2$ и нечетного $k$
$\|P-P'\|=2\sup\limits_{A \in \mathfrak{E}} |P(S_n +k \in A) - P(S_n \in A) | = 2$ - я так полагаю, можно разбить пространство событий на два множества, на которых события взаимноисключающие, под модулем будет $|1-0|$.

Ну, возьмем $S_n$ симметричное блуждание, пусть вероятности $1/3,1/3,1/3$ и $k$ - нечетное.
Тогда
$\|P-P'\|=2\sup\limits_{A \in \mathfrak{E}} |P(S_n +k \in A) - P(S_n \in A) | = 2 \ $

?

[Slumber]

Четкая формулировка вопроса:

Можно утверждать, что для случайного блуждания
$\|P-P'\|=2\sup\limits_{A \in \mathfrak{E}} |P(S_n +k \in A) - P(S_n \in A) | $
- Либо сходится, либо равно 2.

Равно 2, когда у нас для любого $n$ можно найти взаимно исключающие события - когда цепь имеет периодическое состояние, тогда под модулем $|\alpha-1+\alpha|$.

Если теперь мы сделали вероятность залипания $q_{ii}>0$ - якобы убрав периодичность состояний.

Будет ли тогда сходимость?

Аргумент в пользу того, что будет - потому что в предыдущем контрпримере была конструкция, суть которой, как мне кажется, в том, что НОД$(d,k)>1$, где $d$- период состояний, $k$ - сдвиг. Мы "уничтожили" d.
Аргумент в пользу того, что не будет - так визуально же ничего не поменялось.