Развертка цилиндра

[phys]

Если взять цилиндр, срезать его под 45 градусов, и развернуть поверхность, то что за кривая получиться по линии среза? Похоже на косинус, но нужно точно.

[svv]

Да, конечно. Возьмем цилиндр единичного радиуса. В цилиндрических координатах его уравнение $\rho=1$. Пересечем его плоскостью $z=x$, в цилиндрических координатах это $z=\rho\cos\varphi$. Тогда на линии пересечения $z=\cos\varphi$. При разворачивании цилиндра угловая координата $\varphi$ станет линейной, а зависимость останется той же.

[Nacuott]

Срезанный цилиндр и его развертка. (Цилиндр разрезан по самой короткой образующей)

[svv]

Спасибо, Nacuott, у Вас всегда такие красивые и наглядные картинки.

[vorvalm]

Это доказывает, что длина дуги полного эллипса
равна длине дуги одной ветви синусоиды

[phys]

То что надо, спасибо!

[svv]

vorvalm в сообщении #745447 писал(а):

Это доказывает, что длина дуги полного эллипса равна длине дуги одной ветви синусоиды

Чтобы это стало справедливо, требуется столько уточнений, что это сводит на нет ценность утверждения.

[Батороев]

svv в сообщении #745457 писал(а):

vorvalm в сообщении #745447 писал(а):

Это доказывает, что длина дуги полного эллипса равна длине дуги одной ветви синусоиды

Чтобы это стало справедливо, требуется столько уточнений, что это сводит на нет ценность утверждения.

А какие требуются уточнения, чтобы стало очевидным то, что длины кривых в цилиндре и в развертке равны?

[svv]

В цилиндре и развёртке — никаких.

Я Вам больше скажу. Если сделать ту синусоиду из проволочки, а потом изогнуть её так, чтобы вышла окружность, у нас получится, что и длина окружности равна длине синусоиды. А также периметру квадрата, равностороннего треугольника и т.д.

[Батороев]

svv в сообщении #745501 писал(а):

В цилиндре и развёртке — никаких.

Я Вам больше скажу.

"Больше" не требуется, т.к. утверждение касалось только рассматриваемого в теме случая.

-- 13 июл 2013 10:18 --

"Ценность утверждения" нивелируется тем, что непонятно, что легче считать: длину дуги эллипса или дуги синусоиды. На мой (непросвещенный) взгляд, первое, похоже, легче.

-- 13 июл 2013 10:36 --

По крайней мере, для длины дуги эллипса существует приближенная формула.

[vorvalm]

svv в сообщении #745457 писал(а):

Чтобы это стало справедливо, требуется столько уточнений, что это сводит на нет ценность утверждения.

Достаточно, чтобы отношение полуосей эллипса было $1:\sqrt 2$

[svv]

А размер эллипса роли не играет?

Утверждение "длина дуги полного эллипса равна длине дуги одной ветви синусоиды", рассматриваемое как общее, — неверно. А если под этим понимать, что длина вот этого эллипса равна длине вот этой синусоиды (которые в задаче) — оно тривиально и малополезно.

[vorvalm]

svv в сообщении #745684 писал(а):

А размер эллипса роли не играет?

Безусловно играет. Просто надо учесть отношение малой полуоси к 1.