2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 15:03 
Аватара пользователя
Если взять цилиндр, срезать его под 45 градусов, и развернуть поверхность, то что за кривая получиться по линии среза? Похоже на косинус, но нужно точно.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 15:36 
Аватара пользователя
Да, конечно. Возьмем цилиндр единичного радиуса. В цилиндрических координатах его уравнение $\rho=1$. Пересечем его плоскостью $z=x$, в цилиндрических координатах это $z=\rho\cos\varphi$. Тогда на линии пересечения $z=\cos\varphi$. При разворачивании цилиндра угловая координата $\varphi$ станет линейной, а зависимость останется той же.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 16:29 
Срезанный цилиндр и его развертка. (Цилиндр разрезан по самой короткой образующей)
Изображение

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 16:41 
Аватара пользователя
Спасибо, Nacuott, у Вас всегда такие красивые и наглядные картинки.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 17:10 
Это доказывает, что длина дуги полного эллипса
равна длине дуги одной ветви синусоиды

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 17:12 
Аватара пользователя
То что надо, спасибо!

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 17:58 
Аватара пользователя
vorvalm в сообщении #745447 писал(а):
Это доказывает, что длина дуги полного эллипса равна длине дуги одной ветви синусоиды
Чтобы это стало справедливо, требуется столько уточнений, что это сводит на нет ценность утверждения.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 18:56 
svv в сообщении #745457 писал(а):
vorvalm в сообщении #745447 писал(а):
Это доказывает, что длина дуги полного эллипса равна длине дуги одной ветви синусоиды
Чтобы это стало справедливо, требуется столько уточнений, что это сводит на нет ценность утверждения.

А какие требуются уточнения, чтобы стало очевидным то, что длины кривых в цилиндре и в развертке равны?

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение12.07.2013, 20:49 
Аватара пользователя
В цилиндре и развёртке — никаких.

Я Вам больше скажу. Если сделать ту синусоиду из проволочки, а потом изогнуть её так, чтобы вышла окружность, у нас получится, что и длина окружности равна длине синусоиды. А также периметру квадрата, равностороннего треугольника и т.д.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение13.07.2013, 06:07 
svv в сообщении #745501 писал(а):
В цилиндре и развёртке — никаких.

Я Вам больше скажу.

"Больше" не требуется, т.к. утверждение касалось только рассматриваемого в теме случая.

-- 13 июл 2013 10:18 --

"Ценность утверждения" нивелируется тем, что непонятно, что легче считать: длину дуги эллипса или дуги синусоиды. На мой (непросвещенный) взгляд, первое, похоже, легче.

-- 13 июл 2013 10:36 --

По крайней мере, для длины дуги эллипса существует приближенная формула.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение13.07.2013, 08:03 
svv в сообщении #745457 писал(а):
Чтобы это стало справедливо, требуется столько уточнений, что это сводит на нет ценность утверждения.

Достаточно, чтобы отношение полуосей эллипса было $1:\sqrt 2$

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение13.07.2013, 16:40 
Аватара пользователя
А размер эллипса роли не играет?

Утверждение "длина дуги полного эллипса равна длине дуги одной ветви синусоиды", рассматриваемое как общее, — неверно. А если под этим понимать, что длина вот этого эллипса равна длине вот этой синусоиды (которые в задаче) — оно тривиально и малополезно.

 
 
 
 Re: Развертка цилиндра
Сообщение13.07.2013, 17:31 
svv в сообщении #745684 писал(а):
А размер эллипса роли не играет?

Безусловно играет. Просто надо учесть отношение малой полуоси к 1.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group