yupa писал(а):
sadomovalex писал(а):
а теоремы существования и единственности решения краевой задачи разве не достаточно?
Вот! Я именно такую теорему именно для такой задачи и ищу! Она есть? Где можно почитать не подскажете пожалуйста?
Книг много есть. Например,
Гилбарг, Трудингер "Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными"
Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains
Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера
Ландис Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов.
А вообще-то суть дела описана как раз у Назарова и Пламеневского. Любое решение будет гладким вплоть до границы за исключением начала координат. Поведение решения в начале координат и на бесконечности определяется спектром соответствующих дифференциальных операторов, построенных с помощью преобразоваения Фурье (см. Назаров, Пламеневский). Чтобы добиться единственности решения кроме условий гладкости нужно наложить некоторые ограничения на рост решения в 0 и на бесконечности. Они могут быть заданы в виде условий принадлежности решения (весовым) пространствам Соболева.
Насколько я помню, в двумерном случае в угловой точке практически обязательно возникает логарифмическая особенность. Поэтому обычно не бывает, чтобы не только решение, но и производная была непрерывной вплоть до границы.