Смешанная задача для уравнения Лапласа в квадранте

[yupa]

Добрый день. Я к сожалению не располагаю информацией о корректности постановки и свойствах классических решений такой задачи. В общем виде в случае произвольной конечной размерности пространства $R^n$ задача исследовалась в ряде работ (например Комеч "Эллиптические краевые задачи на многообразиях с кусочно гладкой границей" или в книге Назаров, Пламеневский "Эллиптические краевые задачи в областях с кусочно гладкой границей"), однако ввиду громоздкости изложенной в них теории хотелось бы найти более простые, возможно специальные утверждения о корректности постановки и оценках решений для следующего типа задач:

$$ a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+a_1u_x+a_2u_y+au=f,\ x,y>0, $$

$$ b_{12}u_{xy}+b_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+bu=g,\ x=0,y>0, $$

$$ c_{11}u_{xx}+c_{12}u_{xy}+c_1u_x+c_2u_y+cu=h,\ y=0,x>0. $$

Здесь $a_{ij},a_i,a,b_{ij},b_i,b,c_{ij},c_i,c\in R,\ f\in C(R^2),\ g,h\in C^1(R)$ кроме того $a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0,$ тоесть уравнение эллиптическое.

[yupa]

Попробую немного оживить тему. Имеет ли смысл попытаться отыскать функцию Грина такой задачи в явном виде не используя преобразование Фурье? Например поставив нужную краевую задачу для функции Грина дабы потом для поиска решения исходной задачи возможно было бы использовать теорему об интеральном представлении для гладкой функции? Или этот путь заведомо провальный ибо кто то уже пытался так делать и у него по конкретным причинам не получилось?

[sadomovalex]

а теоремы существования и единственности решения краевой задачи разве не достаточно?

[yupa]

sadomovalex писал(а):

а теоремы существования и единственности решения краевой задачи разве не достаточно?

Вот! Я именно такую теорему именно для такой задачи и ищу! Она есть? Где можно почитать не подскажете пожалуйста?

[sadomovalex]

для этой конкретной задачи не знаю, но примеры и методы доказательства теоремы единственности есть в Тихонове-Самарском

[martin03]

yupa писал(а):

sadomovalex писал(а):

а теоремы существования и единственности решения краевой задачи разве не достаточно?

Вот! Я именно такую теорему именно для такой задачи и ищу! Она есть? Где можно почитать не подскажете пожалуйста?

Книг много есть. Например,
Гилбарг, Трудингер "Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными"
Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains
Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера
Ландис Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов.

А вообще-то суть дела описана как раз у Назарова и Пламеневского. Любое решение будет гладким вплоть до границы за исключением начала координат. Поведение решения в начале координат и на бесконечности определяется спектром соответствующих дифференциальных операторов, построенных с помощью преобразоваения Фурье (см. Назаров, Пламеневский). Чтобы добиться единственности решения кроме условий гладкости нужно наложить некоторые ограничения на рост решения в 0 и на бесконечности. Они могут быть заданы в виде условий принадлежности решения (весовым) пространствам Соболева.
Насколько я помню, в двумерном случае в угловой точке практически обязательно возникает логарифмическая особенность. Поэтому обычно не бывает, чтобы не только решение, но и производная была непрерывной вплоть до границы.

[yupa]

Да, спасибо, я знаком с общей теорией. Суть моего вопроса именно в том и заключалась, чтобы получить классический результат относительно описанной проблеммы. В книге Назарова, Пламеневского рассматриваются задачи Неймана и Дирихле. Сдесь же краевые условия содержат касательную производную второго порядка, что по сути дела менять не должно (хуже было бы с нормальной второй производной), однако все таки задача иная.....

Теорема единственности не очень интересна -- ибо тут как раз все элементарно. Выполнив Фурье по $x,y$ можно получить решение в явном виде, если гладкое решение существует. При этом условия на гладкость гарантируют однозначную разрешимость полученого интегрального уравнения. Тогда для однородных начальных данных мы в качестве решения соответсвующего уравнения Фредгольма получаем ноль. Обратное Фурье от нуля ноль. И в классе гладких функций наша однородная задача иных решений получается неимеет.

С теоремой существования все хуже. Дело в том что обобщенная формулировка задачи вообще говоря неэквивалентна классической. Поэтому даже существование гладкого решения обобщенной задачи не гарантирует существование решения задачи классической. По этому, так как я уже знаком с трудами Гилбарга, Трудингера.... Хочу повторить вопрос -- не знаком ли кто нибудь с классическими результатами существования и априорных оценок решений поставленной задачи? Либо возможно известно где это можно почитать...

[yupa]

В общем я решил свои проблеммы связанные с поставенной задачей. Для возможно интересующихся людей привожу основной результат: задача

$$ A(D)u=f,\ x,y>0, $$

$$ B_1(D)u=f_1,\ x>0,y=0, $$

$$ B_2(D)u=f_2,\ x=0,y>0 $$

является нетеровой в $H_s,$ если $f\in H_{s-\frac{5}{2}},\ f_i\in H_{s-m_i-\frac{1}{2}}$ и она строго эллиптична, тоесть оператор $A(D)$ строго эллиптичен и кроме того

$$ |B_1(z)|>C_1(1+|z|)^{m_1},\ z\in R\times C^-,\ A(z)=0, $$

$$ |B_2(z)|>C_2(1+|z|)^{m_2},\ z\in C^-\times R,\ A(z)=0. $$

Здесь $D=(i\frac{\partial}{\partial x},i\frac{\partial}{\partial x}),\ s\in R,\ s>\frac{5}{2},\ s-m_i>\frac{1}{2}$ и $s$ не является целым; $C^-=\{z\in C\ |\ Im\ z<0\},\ C_i\in R$ -- постоянные; $m_i$ -- порядки операторов $B_i(D).$ Операторы $A(D),\ B_i(D)$ -- скалярные линейные дифференциальные.

Ну и ясно, что для корректности постановки достаточно в описанных предположениях еще доказать теорему единственности решения, которая как правило в каждом частном случае доказывается несложно.