Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Pavlovsky]

Еще не вечер. Запас идей есть, значит можно надеяться на результаты. Очень много кодинга. Жара, очень трудно себя заставить кодить. Да и не люблю я это дело.

[dmd]

Формулы для пан-диагонального квадрата 7х7.

Если 24 независимых переменных находятся в прямоугольнике $m[4,2]...m[7,7]$, то остальные зависимые ячейки вычисляются по формулам

  m[4,1]= S-m[4,2]-m[4,3]-m[4,4]-m[4,5]-m[4,6]-m[4,7];
  m[5,1]= S-m[5,2]-m[5,3]-m[5,4]-m[5,5]-m[5,6]-m[5,7];
  m[6,1]= S-m[6,2]-m[6,3]-m[6,4]-m[6,5]-m[6,6]-m[6,7];
  m[7,1]= S-m[7,2]-m[7,3]-m[7,4]-m[7,5]-m[7,6]-m[7,7];

  m[1,1]= S-m[4,1]-m[5,1]-m[5,2]-m[5,7]-m[6,1]+m[6,4]+m[6,5]-m[7,1]-m[7,2]-m[7,7];
  m[1,2]= S-m[4,2]-m[5,1]-m[5,2]-m[5,3]-m[6,2]+m[6,5]+m[6,6]-m[7,1]-m[7,2]-m[7,3];
  m[1,3]= S-m[4,3]-m[5,2]-m[5,3]-m[5,4]-m[6,3]+m[6,6]+m[6,7]-m[7,2]-m[7,3]-m[7,4];
  m[1,4]= S-m[4,4]-m[5,3]-m[5,4]-m[5,5]+m[6,1]-m[6,4]+m[6,7]-m[7,3]-m[7,4]-m[7,5];
  m[1,5]= S-m[4,5]-m[5,4]-m[5,5]-m[5,6]+m[6,1]+m[6,2]-m[6,5]-m[7,4]-m[7,5]-m[7,6];
  m[1,6]= S-m[4,6]-m[5,5]-m[5,6]-m[5,7]+m[6,2]+m[6,3]-m[6,6]-m[7,5]-m[7,6]-m[7,7];
  m[1,7]= S-m[4,7]-m[5,1]-m[5,6]-m[5,7]+m[6,3]+m[6,4]-m[6,7]-m[7,1]-m[7,6]-m[7,7];

  m[2,1]= S+m[4,1]+m[4,2]+m[4,7]-m[5,3]-2*m[5,4]-2*m[5,5]-m[5,6]-m[6,3]-2*m[6,4]-2*m[6,5]-m[6,6]+m[7,1]+m[7,2]+m[7,7];
  m[2,2]= S+m[4,1]+m[4,2]+m[4,3]-m[5,4]-2*m[5,5]-2*m[5,6]-m[5,7]-m[6,4]-2*m[6,5]-2*m[6,6]-m[6,7]+m[7,1]+m[7,2]+m[7,3];
  m[2,3]= S+m[4,2]+m[4,3]+m[4,4]-m[5,1]-m[5,5]-2*m[5,6]-2*m[5,7]-m[6,1]-m[6,5]-2*m[6,6]-2*m[6,7]+m[7,2]+m[7,3]+m[7,4]; 
  m[2,4]= S+m[4,3]+m[4,4]+m[4,5]-2*m[5,1]-m[5,2]-m[5,6]-2*m[5,7]-2*m[6,1]-m[6,2]-m[6,6]-2*m[6,7]+m[7,3]+m[7,4]+m[7,5];
  m[2,5]= S+m[4,4]+m[4,5]+m[4,6]-2*m[5,1]-2*m[5,2]-m[5,3]-m[5,7]-2*m[6,1]-2*m[6,2]-m[6,3]-m[6,7]+m[7,4]+m[7,5]+m[7,6];
  m[2,6]= S+m[4,5]+m[4,6]+m[4,7]-m[5,1]-2*m[5,2]-2*m[5,3]-m[5,4]-m[6,1]-2*m[6,2]-2*m[6,3]-m[6,4]+m[7,5]+m[7,6]+m[7,7];
  m[2,7]= S+m[4,1]+m[4,6]+m[4,7]-m[5,2]-2*m[5,3]-2*m[5,4]-m[5,5]-m[6,2]-2*m[6,3]-2*m[6,4]-m[6,5]+m[7,1]+m[7,6]+m[7,7];

  m[3,1]= S-m[4,1]-m[4,2]-m[4,7]-m[5,1]+m[5,4]+m[5,5]-m[6,1]-m[6,2]-m[6,7]-m[7,1];
  m[3,2]= S-m[4,1]-m[4,2]-m[4,3]-m[5,2]+m[5,5]+m[5,6]-m[6,1]-m[6,2]-m[6,3]-m[7,2];
  m[3,3]= S-m[4,2]-m[4,3]-m[4,4]-m[5,3]+m[5,6]+m[5,7]-m[6,2]-m[6,3]-m[6,4]-m[7,3];
  m[3,4]= S-m[4,3]-m[4,4]-m[4,5]+m[5,1]-m[5,4]+m[5,7]-m[6,3]-m[6,4]-m[6,5]-m[7,4];
  m[3,5]= S-m[4,4]-m[4,5]-m[4,6]+m[5,1]+m[5,2]-m[5,5]-m[6,4]-m[6,5]-m[6,6]-m[7,5];
  m[3,6]= S-m[4,5]-m[4,6]-m[4,7]+m[5,2]+m[5,3]-m[5,6]-m[6,5]-m[6,6]-m[6,7]-m[7,6];
  m[3,7]= S-m[4,1]-m[4,6]-m[4,7]+m[5,3]+m[5,4]-m[5,7]-m[6,1]-m[6,6]-m[6,7]-m[7,7];

Формулы проверены на регулярном минимуме 1597. Для нерегулярных квадратов тоже должны работать.

[Nataly-Mak]

Общая формла иеального квадрата 7-го порядка alexBlack:

m0 = -m48+2/7*S
m1 = -m47+2/7*S
m2 = -m46+2/7*S
m3 = -m45+2/7*S
m4 = -m44+2/7*S
m5 = -m43+2/7*S
m6 = +m43+m44+m45+m46+m47+m48-5/7*S
m7 = -m41+2/7*S
m8 = -m40+2/7*S
m9 = -m39+2/7*S
m10 = -m38+2/7*S
m11 = -m37+2/7*S
m12 = -m36+2/7*S
m13 = +m36+m37+m38+m39+m40+m41-5/7*S
m14 = +m40+m41+m46+m47+m48-4/7*S
m15 = -m36+m39+m40+m41-m43-m44+m45+m46+2*m47+m48-4/7*S
m16 = -m37+m38+m39+m40-m43+2*m46+m47+m48-4/7*S
m17 = +m37+m39+m43+m45+m47-4/7*S
m18 = +m36+m37+m38-m39+m44-m45-m46-2*m47-m48+3/7*S
m19 = -m38-m39-2*m40-m41+m43-2*m46-2*m47-m48+10/7*S
m20 = -m37-m38-m39-m40-m41-m45-m46-m47-m48+10/7*S
m21 = -m22-m23-m24-m25-m26-m27+S
m22 = -m38-2*m39-2*m40-2*m41+m43+m44-m45-3*m46-3*m47-2*m48+15/7*S
m23 = +m36+m37-m39-m40+m43-m45-2*m46-3*m47-2*m48+8/7*S
m24 = +1/7*S
m25 = -m36-m37+m39+m40-m43+m45+2*m46+3*m47+2*m48-6/7*S
m26 = +m38+2*m39+2*m40+2*m41-m43-m44+m45+3*m46+3*m47+2*m48-13/7*S
m27 = -m36+m40-m43-m44+m46+m47+1/7*S
m28 = -m29-m30-m31-m32-m33-m34+S
m29 = +m38+m39+2*m40+m41-m43+2*m46+2*m47+m48-8/7*S
m30 = -m36-m37-m38+m39-m44+m45+m46+2*m47+m48-1/7*S
m31 = -m37-m39-m43-m45-m47+6/7*S
m32 = +m37-m38-m39-m40+m43-2*m46-m47-m48+6/7*S
m33 = +m36-m39-m40-m41+m43+m44-m45-m46-2*m47-m48+6/7*S
m34 = -m40-m41-m46-m47-m48+6/7*S
m35 = -m36-m37-m38-m39-m40-m41+S
m42 = -m43-m44-m45-m46-m47-m48+S

К сожалению, alexBlack не написал статью о построении нетрадиционных идеальных квадратов 7-го порядка.
Эту формулу он прислал мне в письме, она выложена в моей статье

Сравните с общей формулой пандиагонального квадрата 7-го порядка.
Для идеального квадрата имеем всего 12 независимых переменных (при заданной магической константе S). Так получается потому, что идеальный квадрат обладает свойством ассоциативности.
Как я уже говорила, построить такой квадрат намного проще, чем просто пандиагональный. Однако беда в том, что идеальный квадрат, как правило, имеет бОльшую магическую константу, чем просто пандиагональный. Алгоритм хорош для тех, кто пока не имеет никакого решения для N=7.

Примеры
(слева магическая константа пандиагонального квадрата, справа - идеального)

n=5
395 3505
n=6
450 990
n=7
1597 (наименьший регулярный) 5411 (наименьший известный на сегодня)

Наименьший известный на сегодня идеальный квадрат 7-го порядка с магической константой 5411 построил alexBlack по приведённой выше формуле.

Просьба ко всем:
если по ходу ваших построений у вас будут встечаться идеальные квадраты, пожалуйста сохраняйте их. Интересны идеальные квадраты из различных простых чисел для всех N>6.

[Pavlovsky]

Перебор, по общим формулам в чистом виде, будет гиганстким. Надо его сильно сокращать. Следующие условия отбрасывают изморфные квадраты (Россер теорема 3.3):

m[1,1] - максимальное среди всех чисел, используемых в квадрате;
m[2,1]>(m[3,1],m[4,1],m[5,1],m[6,1],m[7,1],m[1,2],m[2,2]);
m[1,2]>m[1,7].

В результате перебор будет меньше в 2352 раза (Россер теорема 3.4).

[dmd]

А какие есть ограничения на $S$? В формулах alexBlack для идеального квадрата вижу делимость $S$ на $7$. Для общего пандиагонального это тоже справедливо?

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #744808 писал(а):

А какие есть ограничения на $S$?

Это хороший вопрос.
Для N=6 Pavlovsky установил условия, которым должна удовлетворять магическая константа пандиагонального квадрата данного порядка из различных простых чисел (можно найти это в теме "Магические квадраты").

Цитата:

В формулах alexBlack для идеального квадрата вижу делимость $S$ на $7$. Для общего пандиагонального это тоже справедливо?

Нет, для общего пандиагонального квадрата 7-го порядка делимость магической константы на 7 не нужна.
Магическая константа 1597 не кратна 7.

Единственное известное мне условие для магической константы пандиагонального квадрата 7-го порядка из различных простых чисел: константа должна быть нечётной. Это очевидное условие.
Можно попробовать вывести какие-то условия для $S$, исходя из того, что все простые числа (кроме чисел 2, 3) представимы в виде: $6k+1$ или $6k-1$.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #744818 писал(а):

Единственное известное мне условие для магической константы пандиагонального квадрата 7-го порядка из различных простых чисел: константа должна быть нечётной. Это очевидное условие.

Это единственное условие. Других быть не может.

[Nataly-Mak]

Алгоритм построения по шаблону из вычетов по некоторому модулю

Нерегулярный классический пандиагональный квадрат 7-го порядка из статьи Россера:

2 47 38 35 24 20 9
26 16 8 6 46 42 31
49 39 33 23 15 12 4
19 11 7 45 41 30 22
37 29 27 17 14 3 48
10 5 44 36 34 25 21
32 28 18 13 1 43 40

Этому квадрату соответствует следующий шаблон из вычетов по модулю 9:

2 2 2 8 6 2 0
8 7 8 6 1 6 4
4 3 6 5 6 3 4
1 2 7 0 5 3 4
1 2 0 8 5 3 3
1 5 8 0 7 7 3
5 1 0 4 1 7 4

В чём смысл построения по шаблону? При переборе каждый элемент принимает только соответствующие вычету значения. Например, элемент $a_{11}$ принимает только значения, равные 2(mod 9). Это намного сокращает перебор.
Понятно, что при построении по одному из шаблонов мы потеряем все решения, не вписывающиеся в данный шаблон.

В статье (рис. 19) я построила нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка из различных простых чисел по образцу классического квадрата, приведённого в статье Россера.
Этому квадрату соответствует такой шаблон из вычетов по модулю 3:

2   2   2   2   2   2   1
2   2   1   2   2   2   2
2   2   2   2   2   1   2
2   1   2   2   2   2   2
2   2   2   2   1   2   2
1   2   2   2   2   2   2
2   2   2   1   2   2   2

Поскольку вычета 0 в этом шаблоне нет, понятно, что во всех квадратах, построенных по данному шаблону, простое число 3 не используется.
Уменьшает ли перебор построение по этому шаблону? Конечно, уменьшает. Мы имеем 7 элементов, которые имеют вид $3k+1$ и 42 элемента, которые имеют вид $3k+2$.

Забыла сказать о магической константе квадрата, построенного по последнему шаблону.
Очевидно, что магическая константа такого квадрата S=1(mod 3).
Можно пробовать построение квадрата по этому шаблону, например, для S=1591, ну и далее для меньших констант, удовлетворяющих данному условию.

Примечание: при построении по шаблону используется общая формула пандиагонального квадрата. Шаблон просто помогает уменьшить перебор.

[Nataly-Mak]

Попался при просмотре статей наименьший ассоциативный квадрат 6-го порядка из чисел Смита (автор М. Алексеев - maxal).

Показываю на примере этого квадрата преобразование 3-х квадратов для тех, кто ещё не разобрался с этим преобразованием.
На картинке сверху исходный ассоциативный квадрат, внизу - полученный из него с помощью преобразования 3-х квадратов пандиагональный квадрат.
Точнее было бы говорить о преобразовании 3-х квадрантов но в каждом квадранте мы ведь имеем квадрат.



Думаю, что по картинке легко понять, как выполняется преобразование.
Конечно, преобразование можно записать и в виде формул, и в матричном виде, но я всегда выполняю его вручную.

Теперь постройте самый "малюсенький" ассоциативный квадрат 8-го или 10-го порядка из различных простых чисел и с помощью данного преобразования превратите его в пандиагональный
Разумеется, это не даст вам самый "малюсенький" пандиагональный квадрат.
Но вот если для N=14 нет никакого, то можно попробовать данный алгоритм. Ничего не обещаю

-- Ср июл 10, 2013 15:02:06 --

Сейчас прикинула: нижняя граница для N=7 --- S=733=1(mod 3).
Вполне может быть магической константой пандиагонального квадрата, построенного по приведённому шаблону из вычетов по модулю 3.
Надо посмотреть: есть ли в соответствующем массиве чисел 7 (или более) элементов вида $3k+1$. Остальные 42 (или более) элементов должны быть вида $3k+2$.
Можно сформировать массив ровно из 49 чисел, можно взять чуть больше чисел. Во втором случае программа будет выполняться намного дольше, но и шансов найти решение больше.

Нет, массив чисел, из которых составлен наименьший МК 7-го порядка из простых чисел, не годится для построения по приведённому шаблону, так как в нём присутствует число 3:

3 5 7 23 223 233 239
211 191 181 19 31 29 71
79 83 89 107 109 127 139
199 197 103 193 17 11 13
53 149 59 157 101 47 167
151 67 131 137 73 113 61
37 41 163 97 179 173 43

Надо выбрать другой массив и другую магическую константу.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #744841 писал(а):

Надо выбрать другой массив и другую магическую константу.

Ради интереса попробовала выбрать нужный массив:

7 13 19 31 37 43 61 5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 83 89 101 107 113 131 137 149 167 173 179 191 197 227 233 239 251 257 263 269 281 293 311 317 347 353 359 383 389 401 419 431

Первые 7 элементов массива вида $3k+1$, остальные 42 элемента вида $3k+2$.
Вполне подходящий массив.
Массив даёт магическую константу $S=1201$.

Обычный МК с такой магической константой из чисел данного массива строится запросто; построился мгновенно по программе Stefano Tognon:

ORDER=7  MAGIC=1201

5   113 37  227 431 191 197 
43  251 317 11  281 239 59  
359 71  257 131 29  7   347 
137 419 23  401 19  53  149 
293 107 173 31  41  389 167 
263 61  311 47  17  233 269 
101 179 83  353 383 89  13  

А вот построится ли пандиагональный квадрат

Берём данный массив, общую формулу пандиагонального квадрата 7-го порядка, приведённый выше шаблон и... вперёд

Ну, и далее можно сформировать другие массивы под этот шаблон.

Кроме того, шаблон можно "обратить", то есть вместо вычета 2 написать 1, а вместо вычета 1 написать вычет 2. Построенный по такому шаблону квадрат тоже будет пандиагональным. А вот магическая константа квадрата, построенного по такому шаблону
$S=2(\mod 3)$. Это уже даёт совсем другие магические константы, нежели с первым шаблоном.

-- Ср июл 10, 2013 19:08:00 --

Обалдеть!
Столько я написала о построении пандиагональных квадратов, что уже и не помню сама всего
Вот, например, тема на форуме ПЕН "Нетрадиционные магические квадраты".
Вот это
сообщение прочтите-ка, очень любопытное.
Шаблончик скопирую, это из вычетов по модулю 7, для построения нерегулярного пандиагонального квадрата 7-го порядка:

4 6 3 5 3 5 3 
3 5 3 4 6 3 5
6 3 5 3 5 3 4
5 3 4 6 3 5 3
3 5 3 5 3 4 6
3 4 6 3 5 3 5
5 3 5 3 4 6 3

Там и массив из 49 простых чисел приведён.
Но задача так и не была решена.
Приведённый массив дал бы пандиагональный квадрат с магической константой 1401, если такой квадрат может быть построен из чисел данного массива по приведённому шаблону.

А в тему на форуме ПЕН я пошла за общей формулой пандиагонального квадрата 7-го порядка, помнится, она там была. Пока не нашла, сейчас поищу.

[Nataly-Mak]

И вот эту тему посмотрите, если интересно:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=32125&

Попытка привлечь форумчан к построению пандиагонального квадрата 14-го порядка из различных простых чисел.
Никто не привлёкся
И я задачу эту не решила.

-- Ср июл 10, 2013 19:59:35 --

Нашла общую формулу пандиагонального квадрата 7-го порядка в теме "Магические квадраты".

Nataly-Mak в сообщении #317855 писал(а):

Ну, вот и мою систему решили на форуме Портала ЕН (решал 12d3):

{{x1 -> -a11 + a12 + a13 + a15 + a16 + a17 + a20 + a21 - a4 + a5 +  
   a6 + a8 + a9 - 2 S + x16 + x17 + x20 + x25 + x26 + x27,
  x2 -> a12 - a18 - a4 + a5 + a8 + a9 - x16,
  x3 -> a10 + a11 - a12 + a18 - a20 - a21 + a4 - a5 - a8 + S - x17 - 
   x20 - x25 - x26 - x27,
  x4 -> a10 + a12 + a13 + a16 + a19 + a9 - x16 - x17 - x20 - x25 - x27,
  x5 -> a10 + a11 - a21 + a3 + a4 - a5 - x17,
  x6 -> a13 + a14 + a16 + a17 + a18 + a20 + a21 - a3 - S + x16 + x17,
  x7 -> -a10 - a11 - a16 - a18 + a21 - a4 + a5 + x17 + x20 + x25 + x27,
  x8 -> -a10 - a12 - a13 - a16 - a17 - a19 - a20 - a21 - a5 - a8 - 
   a9 + 2 S - x20 - x26,
  x9 -> -a12 - a13 + a18 - a20 + a4 - a5 - a6 - a8 - a9 + S - x25,
  x10 -> -a11 + 2 a12 + 2 a13 + a16 + a17 - a18 + a19 + 2 a20 + a21 - 
   a4 + 2 a5 + a6 + a8 + a9 - 2 S + x20 + x25 + x26,
  x11 -> -a11 + a13 + a16 + a17 + a19 + a20 + a21 - a3 + a5 - S + 
   x16 + x17 + x20,
  x12 -> a17 + a20 + a21 - a4 + a5 + a8 - S + x17 + x20 + x25 + x26,
  x13 -> -a10 - a13 - a14 - a16 - 2 a17 - a18 - a20 - a21 + 2 S - 
   x16 - x17 - x20 - x26,
  x14 -> a10 + a11 - a12 - a13 + a18 - a19 - a20 - a21 + a3 + a4 - 
   2 a5 - a8 + S - x17 - x20 - x25,
  x15 -> -a15 - a16 - a17 - a18 + S - x16 - x17,
  x18 -> -a10 - a13 - a14 - a16 - a17 - a18 - a19 - a20 - a21 + a3 + 
   S + x25 + x27,
  x19 -> a10 + a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 + a18 + a6 + a9 - S -
    x20 - x25,
  x21 -> -a12 - a15 - a3 - a6 - a9 + S - x27,
  x22 -> a12 + a13 + a14 + a17 + a20 + a21 - a4 + a5 + a6 + a9 - S,
  x23 -> a10 + a11 - a12 + a16 + a17 + a18 + a4 - a5 - a6 - x25 - x27,
  x24 -> -a10 - 2 a12 - 2 a13 - a14 - a15 - 2 a16 - 2 a17 - a19 - 
   2 a20 - a21 + a4 - a5 - a6 - a8 - 2 a9 + 3 S - x26,
  x28 -> -a11 + 2 a12 + a13 + a15 + a16 - a18 + a19 + a20 - a4 + a5 + 
   a6 + a8 + a9 - S,
  a1 -> a11 - 2 a12 - 2 a13 - a15 - a16 - a17 + a18 - a19 - a20 - 
   a21 + a4 - 2 a5 - a6 - a8 - 2 a9 + 2 S,
  a2 -> -a10 - a11 + a12 + a13 - a18 + a19 + a20 + a21 - a3 - a4 + a5,
  a7 -> -a10 - a12 - 2 a13 - a14 - a16 - a17 - a19 - a20 - a21 - a5 - 
   a6 - a9 + 2 S}}

Формула получилась того же типа: 24+25.
На конкретном пандиагональном квадрате форумулу проверила, всё верно.

Чтобы было понятно, как расположены элементы в самом квадрате, покажу квадрат:

a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4
x4 a5 x5 a6 x6 a7 x7
a8 x8 a9 x9 a10 x10 a11
x11 a12 x12 a13 x13 a14 x14
a15 x15 a16 x16 a17 x17 a18
x18 a19 x19 a20 x20 a21 x21
x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28

Там рядом с моим постом смотрите общую формулу maxal.
Он представил два варианта, но у него другая форма записи формулы (матричная).

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #744894 писал(а):

Там и массив из 49 простых чисел приведён.
Но задача так и не была решена.
Приведённый массив дал бы пандиагональный квадрат с магической константой 1401, если такой квадрат может быть построен из чисел данного массива по приведённому шаблону.

А вот обычный магический квадрат, построенный из чисел этого массива по программе Stefano Tognon:

ORDER=7  MAGIC=1401

179 383 283 241 13  103 199 
167 257 101 311 89  109 367 
619 61  11  397 269 41  3   
173 139 83  157 353 479 17  
73  151 223 271 47  409 227 
59  313 137 19  577 229 67  
131 97  563 5   53  31  521 

Время поиска несколько секунд.
Можно ли составить из этих чисел пандиагональный квадрат?
Массив простых чисел есть, шаблон есть, общая формула есть.
Может быть, у кого-то уже и программа есть.
Тогда решаем

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #744916 писал(а):

И вот эту тему посмотрите, если интересно:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=32125&

Попытка привлечь форумчан к построению пандиагонального квадрата 14-го порядка из различных простых чисел.
Никто не привлёкся
И я задачу эту не решила.

Грандиозный проект так и не реализован. Никто не захотел быть первым
Теперь этим первым стал Jarek, он построил пандиагональный квадрат 14-го порядка из различных простых чисел.

По ссылке приведены два примитивных квадрата 7-го порядка с одинаковым индексом 181355, но они имеют одну общую строку, то есть в них есть повторяющиеся числа.

Сейчас взяла один из этих примитивных квадратов:

277 563 2657 4457 5077 6247 8663
5101 5387 7481 9281 9901 11071 13487
12241 12527 14621 16421 17041 18211 20627
13627 13913 16007 17807 18427 19597 22013
21283 21569 23663 25463 26083 27253 29669
34381 34667 36761 38561 39181 40351 42767 
68443 68729 70823 72623 73243 74413 76829

Это будет квадрат №1.
Теперь выбрасываю из массива простых чисел (в массиве задействовано 8000 чисел) 49 чисел, из которых составлен этот квадрат. Из оставшихся чисел пытаюсь построить примитивный квадрат №2 с таким же индексом.
Это получается с ходу, вот построенный примитивный квадрат:

239 241 251 353 379 6091 14519
269 271 281 383 409 6121 14549
347 349 359 461 487 6199 14627
827 829 839 941 967 6679 15107
45119 45121 45131 45233 45259 50971 59399
53267 53269 53279 53381 53407 59119 67547
60887 60889 60899 61001 61027 66739 75167

Это будет квадрат №2.
Теперь в этих двух квадратах нет одинаковых чисел.
Думаю, понятно, как продолжать.
Выбрасываем из массива простых чисел все 49 чисел, из которых составлен квадрат №2, и из оставшихся чисел пытаемся построить примитивный квадрат №3 с таким же индексом.
Если третий квадрат найдётся, точно так же пытаемся построить четвёртый квадрат.
Не обещаю, что это получится; я пока не попробовала построить третий и четвёртый квадраты.
Построив четыре примитивных квадрата 7х7, превращаем их в пандиагональные квадраты с помощью преобразования Россера и заполняем матрицу 14х14 по решёткам.

Механизм построения пандиагонального квадрата 14-го порядка по решёткам Россера показан.
На картинке вы видите полуфабрикат: в матрице 14х14 размещены пандиагональные квадраты 7х7, полученные из приведённых примитивных квадратов.



Магическая константа этого пандиагонального квадрата, если он построится, будет равна 362710.
Конечно, это плохое решение, но если нет никакого...

-- Чт июл 11, 2013 09:09:18 --

А тем временем Jarek продолжает находить новые решения:

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 11 Jul 2013 04:39

Jarek
нижние границы, наверное, уже очень близко в ваших решениях?
Столько найдено улучшений!

P.S. На картинке в матрице 14х14 не хватает одной строки (самой нижней). Виновата, поторопилась

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #745032 писал(а):

Выбрасываем из массива простых чисел все 49 чисел, из которых составлен квадрат №2, и из оставшихся чисел пытаемся построить примитивный квадрат №3 с таким же индексом.
Если третий квадрат найдётся, точно так же пытаемся построить четвёртый квадрат.
Не обещаю, что это получится; я пока не попробовала построить третий и четвёртый квадраты.

Третий примитивный квадрат построился!

Квадрат №3

 257  263  317  491  557  6857  12161 
 307  313  367  541  607  6907  12211 
 443  449  503  677  743  7043  12347 
 587  593  647  821  887  7187  12491 
 32353  32359  32413  32587  32653  38953  44257 
 59107  59113  59167  59341  59407  65707  71011 
 69197  69203  69257  69431  69497  75797  81101 
 S=181355 

Осталось построить всего один квадрат. Если это удастся, то пандиагональный квадрат 14-го порядка из различных простых чисел будет построен.

Новая программа построения примитивных квадратов 7-го порядка работает у меня намного эффективнее старой программы.
На поиск третьего квадрата потребовалось примерно 30 минут.
Сейчас выброшу из массива числа, составляющие третий квадрат, и попытаюсь построить четвёртый квадрат.

[Jarek]

Nataly-Mak в сообщении #745032 писал(а):

Jarek
нижние границы, наверное, уже очень близко в ваших решениях?

Although my current approach gives nice results, I am convinced it can never reach lower bounds (which are the known minimal magic sums of magic squares of primes) - the closer I am getting to those lower bounds, the harder finding any improvement is. The ratio of my current record to the lower bound is currently (considering 8<=N<=20):
in the range 1.3-1.4 in 4 cases,
in the range 1.2-1.3 in 7 cases,
in the range 1.1-1.2 in 2 cases (N=8 and N=14).