Сходимость дискретного преобразования Фурье

[Igor_Dmitriev]

Известно, что сходимость неперервыного преобразования зависит от равенства значений граничных производных: если производные до n-го порядка на границах равны, то с увеличением n скорость сходимости увеличивается.

Есть ли что-то подобное для дискретного преобразования Фурье? И как можно определить такие условия?

[ИСН]

Сходимость - это явление, которое может возникать, когда что-то куда-то (например, к бесконечности) стремится и всё никак не достигнет.
Что и куда у Вас стремится в дискретном преобразовании?

[Igor_Dmitriev]

Неправильно выралился: не сходимость, а скорость сходимости.
В непрерывном случае чем больший порядок производных, равных на границе, тем быстрее сходится. Есть ли какое-то условие для скорости сходимости в дискретном случае?

[ИСН]

Скорость сходимости - это понятие, которое имеет смысл тогда, когда есть сходимость. Сходимость может быть тогда, когда... см. предыдущее сообщение.
- - - - -
Я не к какой-то ерундовой формулировке придираюсь, а действительно не могу понять, чего Вы хотите. Сколько будет дважды два? Ну, 4. Какова скорость сходимости 2∙2 к 4? Есть смысл у этого вопроса? Какой? Почём?

[Igor_Dmitriev]

Непрерывное Фурье-преобразование сходится тем быстрее, чем больше граничных производных (идущих подряд, начиная с "нулевой") равны между собой.

Есть ли какое-то подобное правило для дискретного Фурье-преобразования? Если случай равнества граничных значений функции понятен, то как быть с её производными?

Интересует, как зависит скорость сходимости дискретного Фурье-преобразования от вида нашей дискретной функции.

[ИСН]

- Довезёте до Питера за четыре часа?
Можно задать такой вопрос проводнику поезда.
Можно - водителю машины, пойманной на трассе.
Но Вы-то его задаёте официанту в чебуречной на Китай-городе!

-- менее минуты назад --

Что такое сходимость для дискретного преобразования, скажете Вы наконец или нет?

[svv]

А, кстати, что такое и сходимость (просто "сходимость"!) для непрерывного преобразования Фурье?

[Igor_Dmitriev]

В непрерывном случае под скоростью сходимости понимают стремление коэффициентов Фурье к нулю:
$a_m = o(1 / m ^ k)$, причём k тем больше, чем большего порядка производные равны на границах.

Имея знания о производных на границе, мы можем сказать, до какой гармоники мы должны всё учитывать, чтобы получить заданную наперёд точность.
Есть ли что-то для дискретного случая?

Заодно ответил на вопрос svv о том, что такое сходимость.

[Otta]

Igor_Dmitriev в сообщении #744753 писал(а):

В непрерывном случае под скоростью сходимости понимают стремление коэффициентов Фурье к нулю:
$a_m = o(1 / m ^ k)$, причём k тем больше, чем большего порядка производные равны на границах.

Вы привели асимптотику для коэффициентов ряда Фурье. $k$ тем больше, чем большего класса гладкости на отрезке функция.

Непрерывное преобразование Фурье и ряд Фурье - это не одно и то же. Видимо, самое время уточнить у Вас, что Вы называете непрерывным преобразованием Фурье. Это во-первых. И уже только во-вторых, посмотрите сами, что и куда там может сходиться.

[ИСН]

Да что Вы докопались с непрерывным преобразованием. Оно тут ни при чём совершенно.
Igor_Dmitriev, я настаиваю на своём вопросе: что же такое сходимость в дискретном случае?

[Igor_Dmitriev]

скорость сходимости ряда -- это ассимптотика его коэффициентов. Меня и интересует, есть ли оценка ассимптотики для дискретной функции, разложенной в ряд Фурье?

Меня интересуте только ряд Фурье, не интеграл.

[ИСН]

Опять "носят ли марсиане фиолетовые кепочки".
Когда обычную (ну, типа непрерывную) периодическую функцию раскладывают в обычный ряд Фурье, то результат - это бесконечный ряд коэффициентов. У ряда есть какая-то там асимптотика и все дела.
Что, по-Вашему, возникает в результате дискретного преобразования Фурье?

[Igor_Dmitriev]

Ряд, где высшие гармоники равны соответствующим низшим. Как бы то ни было, если у дискретной функции граничные значения будут равны, то, скорее всего, скорость сходимости будет выше, разве я не прав?

[ИСН]

По-моему, в результате дискретного преобразования Фурье возникает конечный набор чисел. Это тупо не ряд. Нет ряда. Нет асимптотики. Нет понятия сходимости. Нельзя спрашивать про сходимость.

[Otta]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #744785 писал(а):

Да что Вы докопались с непрерывным преобразованием. Оно тут ни при чём совершенно.

А что сходимость ни при чем, Вам не было ясно?