Действительные корни многочленов, выражаемые через радикалы

[neo66]

Интересно, можно ли по виду алгебраического уравнения определить:
1) выражаются ли его корни через действительные радикалы?
2) если выражаются, то найти их.

Будем рассматривать для простоты многочлены 3-й степени, имеющие 3 действительные корня. Всегда ли эти корни можно выразить через действительные радикалы. Вот конкретный пример:
Есть система из 2-х уравнений:
$x^2 + y = 7;$
$y^2 + x = 11;$
Она имеет решение $(2,3)$. Нужно найти остальные 3 решения.
Нетрудно свести ее к уравнению 3-й степени с целыми коэффициентами:
$y^3+3y^2-13y-40=0;$ А дальше?

[ИСН]

Дальше банально примените формулу Кардано - и увидите, действительные там радикалы или какие.

[tolstopuz]

neo66 писал(а):

Будем рассматривать для простоты многочлены 3-й степени, имеющие 3 действительные корня. Всегда ли эти корни можно выразить через действительные радикалы.

Если многочлен неприводим, то никогда.

neo66 писал(а):

Интересно, можно ли по виду алгебраического уравнения определить:
1) выражаются ли его корни через действительные радикалы?
2) если выражаются, то найти их.

Если у неприводимого многочлена все корни действительные и хотя бы один из них выражается через действительные радикалы, то они могут быть сведены к квадратным корням и все корни строятся циркулем и линейкой, степень многочлена является степенью двойки и его группа Галуа - 2-группа. Правда, я не знаю алгоритма, решающего эту задачу уже для 16-й степени, не говоря о больших.

[neo66]

ИСН писал(а):

Дальше банально примените формулу Кардано - и увидите, действительные там радикалы или какие.

В этом и был вопрос: формула Кардано выражает действительные числа через комплексные. Почему их нельзя выразить, не выходя из действительной области?

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:

tolstopuz писал(а):

neo66 писал(а):

Будем рассматривать для простоты многочлены 3-й степени, имеющие 3 действительные корня. Всегда ли эти корни можно выразить через действительные радикалы.

Если многочлен неприводим, то никогда.

neo66 писал(а):

Интересно, можно ли по виду алгебраического уравнения определить:
1) выражаются ли его корни через действительные радикалы?
2) если выражаются, то найти их.

Если у неприводимого многочлена все корни действительные и хотя бы один из них выражается через действительные радикалы, то они могут быть сведены к квадратным корням и все корни строятся циркулем и линейкой, степень многочлена является степенью двойки и его группа Галуа - 2-группа. Правда, я не знаю алгоритма, решающего эту задачу уже для 16-й степени, не говоря о больших.

Было бы интересно посмотреть доказательста. Может дадите ссылочку?

[tolstopuz]

neo66 писал(а):

В этом и был вопрос: формула Кардано выражает действительные числа через комплексные. Почему их нельзя выразить, не выходя из действительной области?

http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

neo66 писал(а):

Было бы интересно посмотреть доказательста. Может дадите ссылочку?

http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890(198510)92%3A8%3C571%3ASOPBRR%3E2.0.CO%3B2-N (только у меня туда нет доступа)
И еще Dummit&Foote, Abstract Algebra, 3nd ed, pp. 633-634.

[maxal]

Вот эта статья: http://ifolder.ru/2926064

[Macavity]

Кое-что можно увидеть у Прасолова и Соловьева (в том числе связь с геометрическими построениями, в том числе построение семнадцатиугольника) ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/ellipt/ellipt.djvu

[neo66]

Всем большое спасибо за интересную информацию. А то давно гложет .