2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Действительные корни многочленов, выражаемые через радикалы
Сообщение07.08.2007, 13:17 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Интересно, можно ли по виду алгебраического уравнения определить:
1) выражаются ли его корни через действительные радикалы?
2) если выражаются, то найти их.

Будем рассматривать для простоты многочлены 3-й степени, имеющие 3 действительные корня. Всегда ли эти корни можно выразить через действительные радикалы. Вот конкретный пример:
Есть система из 2-х уравнений:
$x^2 + y =  7;$
$y^2 + x = 11;$
Она имеет решение $(2,3)$. Нужно найти остальные 3 решения.
Нетрудно свести ее к уравнению 3-й степени с целыми коэффициентами:
$y^3+3y^2-13y-40=0;$ А дальше?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Дальше банально примените формулу Кардано - и увидите, действительные там радикалы или какие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные корни многочленов.
Сообщение07.08.2007, 14:38 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
neo66 писал(а):
Будем рассматривать для простоты многочлены 3-й степени, имеющие 3 действительные корня. Всегда ли эти корни можно выразить через действительные радикалы.
Если многочлен неприводим, то никогда.
neo66 писал(а):
Интересно, можно ли по виду алгебраического уравнения определить:
1) выражаются ли его корни через действительные радикалы?
2) если выражаются, то найти их.
Если у неприводимого многочлена все корни действительные и хотя бы один из них выражается через действительные радикалы, то они могут быть сведены к квадратным корням и все корни строятся циркулем и линейкой, степень многочлена является степенью двойки и его группа Галуа - 2-группа. Правда, я не знаю алгоритма, решающего эту задачу уже для 16-й степени, не говоря о больших.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 15:59 
Заслуженный участник


14/01/07
787
ИСН писал(а):
Дальше банально примените формулу Кардано - и увидите, действительные там радикалы или какие.


В этом и был вопрос: формула Кардано выражает действительные числа через комплексные. Почему их нельзя выразить, не выходя из действительной области?

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:

tolstopuz писал(а):
neo66 писал(а):
Будем рассматривать для простоты многочлены 3-й степени, имеющие 3 действительные корня. Всегда ли эти корни можно выразить через действительные радикалы.
Если многочлен неприводим, то никогда.
neo66 писал(а):
Интересно, можно ли по виду алгебраического уравнения определить:
1) выражаются ли его корни через действительные радикалы?
2) если выражаются, то найти их.
Если у неприводимого многочлена все корни действительные и хотя бы один из них выражается через действительные радикалы, то они могут быть сведены к квадратным корням и все корни строятся циркулем и линейкой, степень многочлена является степенью двойки и его группа Галуа - 2-группа. Правда, я не знаю алгоритма, решающего эту задачу уже для 16-й степени, не говоря о больших.

Было бы интересно посмотреть доказательста. Может дадите ссылочку?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 17:41 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
neo66 писал(а):
В этом и был вопрос: формула Кардано выражает действительные числа через комплексные. Почему их нельзя выразить, не выходя из действительной области?
http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
neo66 писал(а):
Было бы интересно посмотреть доказательста. Может дадите ссылочку?
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890(198510)92%3A8%3C571%3ASOPBRR%3E2.0.CO%3B2-N (только у меня туда нет доступа)
И еще Dummit&Foote, Abstract Algebra, 3nd ed, pp. 633-634.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 18:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Вот эта статья: http://ifolder.ru/2926064

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2007, 19:12 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
Кое-что можно увидеть у Прасолова и Соловьева (в том числе связь с геометрическими построениями, в том числе построение семнадцатиугольника) ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/ellipt/ellipt.djvu

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.08.2007, 17:58 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Всем большое спасибо за интересную информацию. А то давно гложет :) .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group