Найти сумму ряда

[Ktina]

Найти сумму ряда

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n+n}$$

Могу только сказать, что эта сумма лежит в интервале $\left(\frac{2}{3};1\right)$, так как с одной стороны

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n+n}<\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}=1$$

, а с другой стороны

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n+n}>\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n\cdot\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$

Удивительно, что компьютер даёт не приблизительный ответ, а точный. Неужели правда?

[xmaister]

(Оффтоп)

Не думаю, что ответ таки точный

[Ms-dos4]

Нет, это приблизительный ответ.

[Sonic86]

Вообще, сумма некрасивая, ниоткуда естественным образом не вылазит, потому ожидать, что она равна чему-то там интересному, наивно.
Все-таки попытался вычислить.
С помощью небезызвестных методов, получилось, что

$$ S=1+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\sum\limits_{j=1}^{k+1}\frac{1}{(1-\frac{1}{2^{k+1}})^j}\sum\limits_{m=1}^{j}(-1)^{m-1}m^k\binom{j-1}{m-1} $$

дальше преобразовывать не решился (правильность расчетов не проверял (проверил, поисправлял - теперь вроде верная))

[Ktina]

Sonic86, Спасибо!