2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти сумму ряда
Сообщение06.07.2013, 10:19 
Аватара пользователя
Найти сумму ряда $$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n+n}$$
Могу только сказать, что эта сумма лежит в интервале $\left(\frac{2}{3};1\right)$, так как с одной стороны $$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n+n}<\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}=1$$
, а с другой стороны $$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n+n}>\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n\cdot\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$
Удивительно, что компьютер даёт не приблизительный ответ, а точный. Неужели правда?

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение06.07.2013, 10:21 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Не думаю, что ответ таки точный :?

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение06.07.2013, 10:22 
Нет, это приблизительный ответ.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение06.07.2013, 16:26 
Вообще, сумма некрасивая, ниоткуда естественным образом не вылазит, потому ожидать, что она равна чему-то там интересному, наивно.
Все-таки попытался вычислить.
С помощью небезызвестных методов, получилось, что
$$
S=1+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\sum\limits_{j=1}^{k+1}\frac{1}{(1-\frac{1}{2^{k+1}})^j}\sum\limits_{m=1}^{j}(-1)^{m-1}m^k\binom{j-1}{m-1}
$$
дальше преобразовывать не решился (правильность расчетов не проверял (проверил, поисправлял - теперь вроде верная))

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение06.07.2013, 22:36 
Аватара пользователя
Sonic86, Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group