Найти действительный корень

[Руст]

Найти действительный корень (выражается в радикалах) у уравнения:
$x^5+10x^3+20x-18=0.$

[maxal]

Ну это техническая задача.
Вот здесь описан ручной метод. А вот как ее решает GAP с пакетом RadiRoot:

GAP4, Version: 4.4.9 of 6-Nov-2006, x86_64-pc-linux-gnu-x86_64-linux-gnu-gcc
Components:  trans 1.0  loaded.
Packages:    Alnuth 2.2.5, Polycyclic 2.2  loaded.
gap> LoadPackage("radiroot");
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Loading  RadiRoot 2.2 (Roots of a Polynomial as Radicals)
by Andreas Distler ([e-mail]).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
true
gap> x := Indeterminate( Rationals, "x" );;
gap> f := UnivariatePolynomial( Rationals, [-18,20,0,10,0,1] );
x^5+10*x^3+20*x-18
gap> IsSolvablePolynomial(f);
true
gap> RootsOfPolynomialAsRadicals( f, "latex" );
"/tmp/tmp.hDz4FG/Nst.tex"

Содержимое Nst.tex такое:

An expression by radicals for the roots of the polynomial $x^{5} + 10x^{3} + 20x - 18$ with the $n$-th root of unity $\zeta_n$ and

$\omega_1 = \sqrt[2]{ - 1017000 + 1638500\zeta_{5}^{3} + 1638500\zeta_{5}^{4}},$
$\omega_2 = \sqrt[5]{207 + 630\zeta_{5} + 630\zeta_{5}^{3} + 270\zeta_{5}^{4} + \frac{17}{25}\omega_1 + \frac{9}{25}\zeta_{5}\omega_1 + \frac{3}{50}\zeta_{5}^{3}\omega_1 + \frac{3}{10}\zeta_{5}^{4}\omega_1},$

is:

$$\frac{1}{11}\omega_2 + \frac{6}{11}\zeta_{5}\omega_2 - \frac{2}{11}\zeta_{5}^{3}\omega_2 + \frac{2}{11}\zeta_{5}^{4}\omega_2 - \frac{2943}{234256}\omega_2^4 + \frac{2223}{29282}\zeta_{5}\omega_2^4 - \frac{1467}{29282}\zeta_{5}^{3}\omega_2^4 + \frac{1179}{14641}\zeta_{5}^{4}\omega_2^4 -$$

$$-\frac{14419}{5856400}\omega_1\omega_2^4 - \frac{1611}{2928200}\zeta_{5}\omega_1\omega_2^4 - \frac{2789}{2342560}\zeta_{5}^{3}\omega_1\omega_2^4 - \frac{24203}{11712800}\zeta_{5}^{4}\omega_1\omega_2^4$$

[Руст]

У меня ответ получился гораздо проще (решал в ручную), конечно имеется два корня пятой степени, остальные квадратные корни.

[Руст]

У меня ответ получился:
$x=\sqrt 2 (\sqrt[5] a+\sqrt[5]{1/a}), \ a=\frac{\sqrt{162}+\sqrt{226}}{8}.$
Хотел, проверить, не ошибся ли я.

[maxal]

Руст писал(а):

У меня ответ получился:
$x=\sqrt 2 (\sqrt[5] a+\sqrt[5]{1/a}), \ a=\frac{\sqrt{162}+\sqrt{226}}{8}.$
Хотел, проверить, не ошибся ли я.

Не сходится:

? a=(sqrt(162)+sqrt(226))/8
%1 = 3.4701523049663454637617661351233297890
? x=sqrt(2)*(a^(1/5)+a^(-1/5))
%2 = 2.9164497207839320319436909557376697364
? x^5+10*x^3+20*x-18
%3 = 499.38799299334384775118068914172269777

[Руст]

Ещё раз решил заново. Всё правильно, за исключением знака:
$x=\sqrt 2 (\sqrt[5] a -\sqrt[5]{1/a}), \ a=\frac{\sqrt{162}+\sqrt{226}}{8}.$

[Nord]

Если еще актуально: это уравнение называется уравнением Муавра, общий вид которого
x^5 + 5a x^3 + 5a^2 x - 2 b^2=0
решается методом Гудде, представляя корень в виде
z=u+v

[arqady]

Nord писал(а):

Если еще актуально: это уравнение называется уравнением Муавра, общий вид которого
x^5 + 5a x^3 + 5a^2 x - 2 b^2=0
решается методом Гудде, представляя корень в виде
z=u+v

Имхо, $x=\sqrt{a}\left(t-\frac{1}{t}\right),$ где $a\geq0$
и $x=\sqrt{-a}\left(t+\frac{1}{t}\right),$ где $a<0$ проще.

[PSP]

arqady писал(а):

Nord писал(а):

Если еще актуально: это уравнение называется уравнением Муавра, общий вид которого
x^5 + 5a x^3 + 5a^2 x - 2 b^2=0
решается методом Гудде, представляя корень в виде
z=u+v

Имхо, $x=\sqrt{a}\left(t-\frac{1}{t}\right),$ где $a\geq0$
и $x=\sqrt{-a}\left(t+\frac{1}{t}\right),$ где $a<0$ проще.

Интересно, а какова группа Галуа этого уравнения?