У меня условия несколько послабее и метод совершенно другой, сейчас я пишу текст. Когда напишу сообщу Вам обязательно.
Да, было бы очень интересно посмотреть.
Может Вам будет интересно еще одно соображение на счет этой задачи. Пусть
![$F(y)$ $F(y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/e/cbeb5310ae26980361774a48bcecd0d082.png)
такова, что
![$F'(y)=f(y)$ $F'(y)=f(y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/3/5d39c8eace6506a43d3e3da916b1f60682.png)
. Как и раньше рассматриваем некие непрерывные (или даже гладкие) приближения
![$f_n$ $f_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/8/ff82ed17908d67f099f83c0b251de0ab82.png)
и решаем соответствующую задачу
![$-\Delta u_n = f_n(u_n)$ $-\Delta u_n = f_n(u_n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/5/7251e68d815184e16481d32bbf74a0a082.png)
,
![$u(\partial M) =0$ $u(\partial M) =0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/7/3871a5dbffe73215c193e57d55dd0d5682.png)
.
Потом пытаемся перейти к пределу. Пусть
![$\varphi(x)$ $\varphi(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/51733a6ece5add8ff3a19f7275dd196d82.png)
финитна в
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
. Выберем некоторое
![$1 \leqslant i \leqslant m$ $1 \leqslant i \leqslant m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/e/5bedf81c46cc49b6f57c53b3a0987f1682.png)
и введем обозначение
![$x_i=y$ $x_i=y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1fcc6b07c473cb61d4216db00db79982.png)
. Умножим уравнение на
![$(u_n)_y \varphi(x)$ $(u_n)_y \varphi(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/7/7d7a6e610d1fd2777d780fc5bc46a55982.png)
и проинтегрируем. Получим
![$\int \limits_M Q(\nabla u_n, \varphi)dM = -\int \limits_M F_n(u_n)\varphi_y(x)dM$ $\int \limits_M Q(\nabla u_n, \varphi)dM = -\int \limits_M F_n(u_n)\varphi_y(x)dM$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/7/9a75cee3af92597fbf51605ac940e86c82.png)
где
![$Q(\nabla u_n, \varphi)$ $Q(\nabla u_n, \varphi)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/2/e92eb6108cabf8a1d321eed7d07ee5a082.png)
- некая квадратичная форма от
![$\nabla u_n$ $\nabla u_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/b/cfb3e87db21fbbfe61095e794f47228582.png)
, полученная интегрированием по частям.
В этом равенстве переходим к пределу и для предельной функции
![$u$ $u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/b/6dbb78540bd76da3f1625782d42d6d1682.png)
получаем
![$\int \limits_M Q(\nabla u, \varphi)dM = -\int \limits_M F(u)\varphi_y(x)dM$ $\int \limits_M Q(\nabla u, \varphi)dM = -\int \limits_M F(u)\varphi_y(x)dM$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/5/3b569b1a0d0014fdd04c8ea8f4b838a882.png)
Откуда следует
![$u_y(\Delta u + f(u)) = 0$ $u_y(\Delta u + f(u)) = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/f/f7f8f10420b5f058d0f40ffa4fbd38e882.png)
Следовательно (в силу произвольности
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
), необходимо исследовать только множество таких
![$x \in M$ $x \in M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/7/5b707b10fdb9e6f71f48c99bb6c7b94782.png)
, в которых градиент обращается в 0.
Конечно, это просто некий трюк, который далеко не всегда применим, но все же может оказаться полезным.