эллиптическое уравнение

[Oleg Zubelevich]

У меня условия несколько послабее и метод совершенно другой, сейчас я пишу текст. Когда напишу сообщу Вам обязательно. Может быть Вы расшифруетесь? Мне хотелось бы сказать Вам "спасибо" в статье.

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #742315 писал(а):

У меня условия несколько послабее и метод совершенно другой, сейчас я пишу текст. Когда напишу сообщу Вам обязательно.

Да, было бы очень интересно посмотреть.

Может Вам будет интересно еще одно соображение на счет этой задачи. Пусть $F(y)$ такова, что $F'(y)=f(y)$. Как и раньше рассматриваем некие непрерывные (или даже гладкие) приближения $f_n$ и решаем соответствующую задачу

$-\Delta u_n = f_n(u_n)$, $u(\partial M) =0$.

Потом пытаемся перейти к пределу. Пусть $\varphi(x)$ финитна в $M$. Выберем некоторое $1 \leqslant i \leqslant m$ и введем обозначение $x_i=y$. Умножим уравнение на $(u_n)_y \varphi(x)$ и проинтегрируем. Получим
$\int \limits_M Q(\nabla u_n, \varphi)dM = -\int \limits_M F_n(u_n)\varphi_y(x)dM$
где $Q(\nabla u_n, \varphi)$ - некая квадратичная форма от $\nabla u_n$, полученная интегрированием по частям.
В этом равенстве переходим к пределу и для предельной функции $u$ получаем
$\int \limits_M Q(\nabla u, \varphi)dM = -\int \limits_M F(u)\varphi_y(x)dM$
Откуда следует
$u_y(\Delta u + f(u)) = 0$
Следовательно (в силу произвольности $i$), необходимо исследовать только множество таких $x \in M$, в которых градиент обращается в 0.
Конечно, это просто некий трюк, который далеко не всегда применим, но все же может оказаться полезным.

[Oleg Zubelevich]

это скелет статьи http://arxiv.org/abs/1307.1047
надеюсь, фатальных глупостей я там не написал. думаю, что там будет еще одна теорема, без условия монотонности, но с условиями на храктер разрыва

[sup]

Oleg Zubelevich
Как и ожидалось, тематика эта совсем даже не новая. У нас этим "плотно" занимался Павленко В.Н. Похоже что и до сих пор у него защищаются на похожие темы. Я посмотрел на несколько таких работ. Ваш подход очень похож на одну из работ (Павленко, Ульянова Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями). В ней они ссылаются на Красносельского с теоремой о неподвижной точке в пространствах с конусом. Возможно и в других работах аналогичный подход.
В частности, Павленко и др. занимались вопросом: какие разрывы "хорошие", а какие "плохие". Изложение подчас несколько мутное, но главное, скачки вверх - "хорошие" и там никаких условий не надо, а вот скачки вниз - "плохие" и с ними надо разбираться. Кроме того, у них доказывается существование "полуправильных" решений, у которых решение рвется лишь в точках области множества меры 0. А посему, значение функции в точках разрыва не важно.
По правде сказать, я бы не стал так уж углубляться в дебри самых общих разрывных нелинейностей. В конце концов откуда они такие возьмутся. Скорее всего стоит понять какие "простые" функции годятся( ну типа кусочно-непрерывные). Ну и возможно какие-то пределы последовательностей таких функций.
На мой взгляд интересны именно "точные условия" на разрывы, а не общность нелинейности. Кроме того, если я правильно понял, то разрывы предполагаются только первого рода. Можно ли что-то сказать про разрывы типа $\sin(1/u)$ я не знаю.

[Oleg Zubelevich]

еще можно показать, что решение существует в том случае, когда правая часть имеет вид "непрерывная невозрастающая функция+неубывающая функция" (с известными условиями на неубывающую функцию) Как это соотносится с результатами Павленко, честно говоря, выяснять поленился, но в любом случае ничего публикабельного я как-то пока тут не вижу. Эффектов нет, все результаты получаются стандартными ходами.