Сходимость ряда

[AlexeyS]

Помогите доказать утверждение. Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ с положительными членами сходится, то существует положительная последовательность $b_n$, такая что $\lim_{n\to\infty}b_n/a_n=+\infty$ и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ сходится.
Мне кажется, что подойдет $b_n=a_nln(n)$. Но как это доказать? Если это, конечно, верно

[Otta]

AlexeyS в сообщении #743016 писал(а):

Если это, конечно, верно

Для произвольного ряда (1) - нет, не верно.

)) Upd: Для произвольного сходящегося с положительными членами.

[AlexeyS]

Otta в сообщении #743021 писал(а):

Для произвольного ряда (1) - нет, не верно.

Ну он не совсем произвольный, он с положительными членами и сходится:) Подскажите, в таком случае, как провести доказательство

[ИСН]

Проверять надо на крайних случаях. Иногда в процессе оказывается, что они не крайние, а наоборот, за ними ещё целый тёмный лес.
Положим (правда ли?), что $\sum_{n=2}^{\infty} {1\over n\ln^2 n}$ - сходящийся ряд. На что его можно домножить, чтобы он оставался таковым?

[ewert]

AlexeyS в сообщении #743016 писал(а):

Мне кажется, что подойдет $b_n=a_nln(n)$.

Это сильно вряд ли, при чём тут конкретно логарифм-то. Тут придётся всё-таки с эпсилон-дельтами повертеться.

Начните, например, с такого. Допустим, те дополнительные множители возрастают, но выходят на константу. Будет сходимость произведения?... -- да, естественно. А при любой той пресловутой константе, пусть и сколь угодно большой, она будет?... -- ну а как же. Вот и поиграйтесь этой константой.

[AlexeyS]

ИСН в сообщении #743027 писал(а):

Проверять надо на крайних случаях. Иногда в процессе оказывается, что они не крайние, а наоборот, за ними ещё целый тёмный лес.
Положим (правда ли?), что $\sum_{n=2}^{\infty} {1\over n\ln^2 n}$ - сходящийся ряд. На что его можно домножить, чтобы он оставался таковым?

Ну да, он сходится, и если его домножить на $\ln(n)$, то он будет расходиться. Но можно домножить на корень из логарифма. Я интуитивно понимаю, что всегда можно на что-то домножить, на какую-то степень логарифма или n, например. Но есть ли этому строгое доказательство?

[ewert]

да при чём тут логарифм-то?... что, свет клином на логарифмах сошёлся?...

[AlexeyS]

ewert в сообщении #743031 писал(а):

AlexeyS в сообщении #743016 писал(а):

Мне кажется, что подойдет $b_n=a_nln(n)$.

Это сильно вряд ли, при чём тут конкретно логарифм-то. Тут придётся всё-таки с эпсилон-дельтами повертеться.

Начните, например, с такого. Допустим, те дополнительные множители возрастают, но выходят на константу. Будет сходимость произведения?... -- да, естественно. А при любой той пресловутой константе, пусть и сколь угодно большой, она будет?... -- ну а как же. Вот и поиграйтесь этой константой.

Ну я в общем-то в этом направлении и пытаюсь мыслить, только дальше не могу сообразить

[ewert]

Пусть сначала, например, это просто единички -- до тех пор, пока частичная сумма оригинального ряда не перешагнёт через половинку от своей полной суммы. Потом двойки -- пока не перешагнёт за три четверти. Потом тройки -- после семи восьмых. И т.д.

В общем, как-то так. Не забывайте, что сходимость знакоположительного ряда сводится всего лишь к ограниченности его частичных сумм. Вот этой ограниченности и добивайтесь.

[AlexeyS]

ewert в сообщении #743060 писал(а):

Пусть сначала, например, это просто единички -- до тех пор, пока частичная сумма оригинального ряда не перешагнёт через половинку от своей полной суммы. Потом двойки -- пока не перешагнёт за три четверти. Потом тройки -- после семи восьмых. И т.д.

В общем, как-то так. Не забывайте, что сходимость знакоположительного ряда сводится всего лишь к ограниченности его частичных сумм. Вот этой ограниченности и добивайтесь.

Вот теперь дошло! Спасибо!