Равномерная сходимость функционального ряда

[Аленушка]

Пока не научилась вводить формулы, пишу как умею. Прошу меня извинить за это и ПОМОЧЬ!!!!
Пусть fn(x)=сумма((1/n)*f(x+i/n)) по i от 0 до n-1, где f(x) - непрерывная функция на расширенной числовой оси. Доказать, что последовательность fn(x) сходится равномерно на любом конечном сегменте [a,b].
А вообще, это задача 2766 из Демидовича 2003 года издания.

[Genrih]

$\lim_{n->\infty} \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{n} f(x+ \frac{i}{n})= \int_{x}^{x+1}f(t)dt$

[zkutch]

решение описано в книге Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. " Математический анализ в примерах и задачах", ч 2., стр.63-64, издание 1977.

Это то что называют антидемидовичем, но в издании 2003г. почему-то решение уже изъято

[Аленушка]

zkutch писал(а):

решение описано в книге Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. " Математический анализ в примерах и задачах", ч 2., стр.63-64, издание 1977.

Это то что называют антидемидовичем, но в издании 2003г. почему-то решение уже изъято

А где такую книжку хорошую достать?
Сам "Антидемидович" в этой библиотеке запрещен к скачиванию...

2Genrih
Что-то я не уловила с интегралом... Можно по-подробнее?

[dm]

Аленушка писал(а):

А где такую книжку хорошую достать?
Сам "Антидемидович" в этой библиотеке запрещен к скачиванию...

Запрещен не везде.
1
2
3
4
5

(Про Хоумлинукс.)

Кто знает, сколько еще проживут эти ссылки...

[Capella]

А ещё есть вот здесь, собственно издание 2001, без Вашей задачи.

[zkutch]

Если не удастся достать книгу, черкните ваше мыло , я отсканирую эти две страницы и вышлю.

[Genrih]

Цитата:

Что-то я не уловила с интегралом... Можно по-подробнее?

Замечаем, что данная сумма представляет собой интегральную сумму, и она будет сходиться (и сходится как раз к $I(x)=\int_x^{x+1}f(t)dt$ )на конечном интервале$[a,b]$, т.к. функция $f$ непрерывнa.
T.e. из свойства интегрируемости функции $f$ автоматически получаем неравенство: для всякого$\epsilon>0$ найдется $N$ такое, что для всех $n>N$
$|f_n(x)-I(x)|< \epsilon $ для всех$x \in [a,b]$

[Аленушка]

2Genrih
"Понял, не дурак. Был бы дурак, не понял бы". Большие пасибки!

2Capella
2dm
И Вам большие пасибки, все скачала!

2zkutch
Нет необходимости, все нашла. Спасибо!

[Alvarg]

Прошу прощение за то что поднимаю старую тему, но нигде не могу найти

Цитата:

Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. " Математический анализ в примерах и задачах", ч 2., стр.63-64, издание 1977.

не могу понять как все-таки доказана равномерная сходимость?
Выложите пожалуйста книгу или само доказательство.
Заранее спасибо!

[SpBTimes]

Рассмотрим некоторый $x \in [a; b]$.
$|f_n(x) - I(x)| = |\sum \frac{1}{n}f(x + i/n) - \int\limits_{x + (i-1)/n}^{x + i/n} f(t) dt|$ $ = |\frac{1}{n}\sum f(x + i/n) - f(x + (i - 1)/n + \theta i/n)| \leqslant \varepsilon$
Последнее верно в силу равномерной непрерывности $f$ на любом сегменте $[a; b+1]$

[bot]

Вот не понимаю тех, кто пропагандируют этих уродов, паразитирующих на популярном задачнике. Моя бы воля - изъял бы этот анти из всех библиотек, физических и виртуальных.

[Otta]

bot в сообщении #742901 писал(а):

Моя бы воля - изъял бы этот анти из всех библиотек, физических и виртуальных.

Моя тоже.

(Оффтоп)

Я его, признаться, в руки брезгую брать, так что не читала. Но у меня как-то среди студенток была сестра подруги. Так вот подруга мне много позже рассказывала, что, мол, Машка (очень хорошая студентка была) перерешает все задачи, а потом откроет АД и долго возмущается, мол, надо же так уродоваться, когда все гораздо проще и красивее можно было сделать.

[bot]

(Оффтоп)

У нас на курсе был один чудак, который прорешал все задачи из Демидовича. Думаю, что у него решения были лучше - он и на 5 курсе возвращался к своим записям, когда находил лучшие прежних решения. А вот в данном решебнике представлены не все задачи - видать неторые оказались не по зубам коллективу доцентов.

[SpBTimes]

bot
А что это за люди - авторы?
Я не пользовался никогда, как-то не спортивно. Но во всех книжных продают (5 томов их)