Найти производную Фреше функционала

[Nakutaro]

$f(x)=\int_0^1 2^{x(t)}dx - \tg{x(0)}$
$f(x+h)-f(x)=\int_0^1 2^{(x+h)(t)}dt-\tg{(x+h)(0)}-\int_0^1 2^{x(t)}dt-\tg{x(0)}=\int_0^1 2^{x(t)}2^{h(t)}dt-\frac{\tg{x(0)}+\tg{x(0)}}{1-\tg{x(0)}\tg{h(0)}}-\int_0^1 2^{x(t)}dt-\tg{x(0)}$
Как преобразовать, чтобы получить ответ?

[SpBTimes]

Интеграл по $dx$? Что известно про функцию $x(t)$?

[Nakutaro]

Упс, ошибка, вначале интеграл по $dt$. $x(t)$ в $C[0,1]$

Напишу другой пример с решением:
$f(x)=\int_0^1 (3x^2(t)-4)dt$ в $C[0,1]$
$f(x+h)-f(x)=\int_0^1 (3(x+h)^2(t)-4)dt-\int_0^1 (3x^2(t)-4)dt=\int_0^1 (3x^2(t)+6x(t)h(t)+h^2(t)-4)dt-\int_0^1 (3x^2(t)-4)dt=\int_0^1 6x(t)h(t)dt+\int_0^1 h^2(t)dt$
И ответ получается такого вида:
$|\alpha(h)|\le\int_0^1 h^2(t)dt=0 $(норма $h$)
$f'_{x}(h)=\int_0^1 6x(t)h(t)dt$

[Otta]

Nakutaro
Пример с решением это хорошо, но не нада. Вы лучше скажите, на каком пространстве функционал задан. Это Вас и спросил SpBTimes. Откуда функция $x$. Из $C[0,1]$?

[Nakutaro]

Да, я же уточнил в своем после выше.

[Otta]

Ну так разложите $2^h$ по формуле Тейлора немного... хватит.
Кстати, перед последним слагаемым плюс.

[Nakutaro]

Получил,$\int_0^1 2^{x(t)}h(t)dt-\tg(x(0)+h(0))+\tg(x(0))$

[Otta]

Ошибочка вышла, плохо разложил. Да и с тангенсом пора начать бороться давно.

[Nakutaro]

Как плохо то :(
$(1+1)^h=1+\frac{h}{1!}+...$
Взял первые два, сократил интегралы, осталось $\int_0^1 2^{x(t)}h(t)dt$+тангенсы.
Как тангенсы упростить не понимаю.

[Otta]

Мил человек, формула, которую Вы пытаетесь использовать - для разложения степенной функции, а не показательной. И Вы хотя бы проверяйте, можно ли формулой пользоваться, стремится ли к нулю то, что надо, чтобы стремилось.

Тангенсы - например, так же.

[SpBTimes]

Кстати ответ, наверное, можно и угадать :)