Решение задачи ОТО в разных координатах

[schekn]

Рассмотри простую задачу и будем ее решать с помощью разных точных решений ОТО. В точке О расположен сферически симметричное статическое тело массой M. В точке B - наблюдатель, который посылает световой сигнал в точку А (ближе к центру), где стоит отражатель. Для простоты пусть точки O,A,B расположены на одной прямой и неподвижны. Наблюдатель в B фиксирует общее время по своим часам, за которое исходящий сигнал, отразившись в А, пришел обратно в ту же точку В. Обычная задача для астрономов. Нам стоит задача проверить разные частные решения, которые дает ОТО для нахождения общего времени распространения сигнала, который мы получаем в этом эксперименте.

1. Будем решать ее сначала в стандартных Шварцшильдовских координатах.
Точку О логично совместить с нулевой координатой r. Тогда шварцшильдовские
координаты наших точек: $r_A$ и $r_B$. А метрика без углового члена имеет вид:

$ds^2=c^2(1-r_g/r)dt^2-dr^2/(1-r_g/r)$

Найдем уравнение радиальных изотропных ( по крайней мере я встречал, что так можно решить подобную задачу), приравняв интервал к нулю:

$c^2(1-r_g/r)dt^2-dr^2/(1-r_g/r)=0$

Имеем 2 решения:

$dt=\pm dr/с(1-r_g/r)$

Одно решение (-) это когда свет идет от B к A , второе (+), когда наоборот.
Интервалы времени в данном случае туда и обратно одинаковы. Интегрируя от $r_A $ до $r_B$, получаем:

$\Delta{t}=(r_B-r_A)/(2c)+2(r_g/c)\ln(\frac{r_B-r_g} {r_A-r_g}) $ (1)

Если мысленно "выключить" гравитационное поле , то первый член можно трактовать , как время распространения светового сигнала между точками А и В и обратно в псевдоевклидовом пространстве, а второй - дополнительная задержка , связанная с гравитацией. Однако данную формулу мы еще не можем применить для сравнения с экспериментом, потому что в нее входит коордиатные величины : $r_A$, $r_B$. То есть нам необходимо перейти от координатных величин к физически измеримым.
А это уже необходимо сделать , опираясь на метрику, которую мы ввели достаточно произвольно в самом начале. Если придерживаться строго теории, то необходимо вычислить длину дуги, центр которой в O , и которая проходит через точки А и В. А вот это уже непростая задача для астрономов даже в масштабах Солнечной Системы. По сути надо жесткий обруч сцентровать с точкой О так, чтобы он проходил через точки А и В, тогда, измерив длину обруча, можно найти начальные координаты:

$L_A=2{\pi}r_A$ (2)

Поступают ли так астрономы? Нет , это чрезвычайно затратный метод и наверное, фактически невозможный. В учебниках Ландау, Вайнберга, Фока и других при рассмотрении опытов Эддингтона, Шапиро.., как-то лихо делается переход от координатных величин к физическим: Если точки А и В это планеты, то их координаты заменяются без должной мотивировки на гелиоцентрические, а координата в опыте Эддингтона в предельном случае заменяется на ньютоновский радиус Солнца.
Считается, что гравитационный эффект мал и на это несоотвествие в учебниках не всегда обращают внимание, но экспериментаторы научились измерять полное время распространение сигнала $\Delta{t}$ с точностью пикосекунд. Что случится , если мы возьмем другую статическую метрику, связанную с Шварцшильдовской простой формулой

$r=r'+a $ (3), a - произвольная постоянная.

Тогда вместо (1) получим (4):

$\Delta{t}=(r_B'-r_A')/(2c)+2(r_g/c)\ln(\frac{r_B'-r_g+a} {r_A'-r_g+a}) $ (4)

Теперь понятно, что если мы вместо $r'_B$ и $r'_A$ поставим ТЕ ЖЕ самые гелиоцентрические значения, взятые из справочника ( а других попросту нет), как этого хотят теоретики , то мы получим, как нетрудно понять, несколько другое значение $\Delta{t}$. Конечно в данной конкретной задаче это изменение сидит под логарифмом и поэтому дает очень незначительное отклонение от первоначального $\Delta{t}$ (1), подсчитанного с помощью шварцшильдовского стандартного решения. Однако если несколько усложнить задачу и скажем, точки O, А и В будут лежать не на одной прямой, то различие мы будем наблюдать уже не только в логарифмическом члене, но и в первых линейных членах (1) и (2), и это вполне заметно на фоне точности. (это можно проверить, просто усложнит расчеты, а мне нужно показать проблему на простом примере).

Как же поступают астрономы, чтобы определить координаты $r_B$ и $r_A$?

а) Один из способов связан с тем, что точки-планеты А и В совершают круговые движение вокруг центра О , тогда согласно закону Кеплера можно привязаться к периоду обращения.
Правда, в моей задаче они закреплены жестко, поэтому такой способ не универсальный.
Такой способ описан у Брумберга "Релятивистская небесная механика" (стр. 185) и это
по крайней мере как-то более вразумительно, чем описано у Ландау и Вайнберга.
Но тут свои трудности : во-первых, движения не совсем круговые, во-вторых, мы имеем досточно сложную зависимость: $r_A=f(c,G,M,T_A)$. То есть, теперь вклад в погрешность кординат $r_B$ и $r_A$ дают фундаментальные константы c, G , которые тоже измерены с некоторой точностью, а также период обращения $T_A$, измеренный хорошо, и масса Солнца М, измеренная плохо. Да и по условию задачи у меня нет круговых движений.

б) Второй способ, который я встречал в экспериментальных статьях более универсальный - это введения фонового плоского пространства. Причем иногда это даже не оговаривается. То есть в нашей задаче - проецируем точки А, В, О на мысленную плоскость и вводим метрику Минковского в сферических координатах:

$ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2d\Omega^2 $ (4)

Где ноль совмещается с центром тела О. Тогда можно ввести вектора и применять теорему Пифагора. Координаты тел А и В в пространстве Минковского, введенного таким образом, совпадают с гелиоцентрическими координатами $r_A$ и $r_B$, а время распространения сигнала без учета гравитации как и должно быть: $2(r_B-r_A)/c. $ . Замечу , что введение для астрономов метрики Минковского, то есть инерциальной СО , не является новостью, поскольку они только и занимались тем, что замеряли свои данные относительно системы "неподвижных звезд", что и является для них ИСО.

В этом случае переход от немых координат r к физически-наблюдаемым по крайней мере кажется оправданным. Но при этом совершенно отчетливо наблюдается маленькое несоответствие теории: если метрику (4) записать при каждом расчете в одних и тех же координатах, и при этом решения ур. Эйнштейна взять в разных, связанных преобразованиями (3), то дополнительный член, (логарифмический) отвечающий за гравитацию, а значит и общее предсказываемое время распространения сигнала, будет отличаться, что неправильно для физической теории.
В современных экспериментальных статьях приводится аналитическое решение Шварцшильда в гармонических координатах (или в изотропных, что учетом точности вычислений совападает) и плоская метрика в форме (4), что не противоречит наблюдениям. А вот в стандартных Шварцшильдовских никто расчеты почему-то не ведет. И ОТО спасает то, что в большинстве экспериментах плохая точность измерения.

2. Наконец добрался до второго для меня более важного вопроса. Если взять решение с перекрестным членом, например Эддингтона-Финкельштейна, то мне не понятно, как решить данную задачу. Попробуем действовать по такой же технологии. Метрика без углового члена :

$ds^2=c^2(1-r_g/r)dV^2-2cdVdr$ (5)

V - новая "временная" координата (которая у Фролова-Новикова называется "световой", связь со Шварцшильдовскими: t - $t=V+2MG\ln(r/r_g-1)/c$ , $r'=r$). Поскольку $r_A$ и $r_B$ > $r_g $, то можно считать, что это та же метрика как и Шварцшильда, но в других координатах. Находим изотропные:

$ds^2=0$
Имеем Два решения:

$dV=0$

$dV=2dr/(c(1-r_g/r))$

А далее у меня затык. Я не знаю как решить данную задачу в указанных координатах (найти время распространения сигнала от В к А и обратно) и как впоследствии интерпретировать результат.

[Munin]

schekn в сообщении #741808 писал(а):

Я не знаю как решить данную задачу в указанных координатах (найти время распространения сигнала от В к А и обратно)

Не знаете - не беритесь за такие задачи. Вы пока ещё должны букварь усвоить.

[apv]

schekn в сообщении #741808 писал(а):

Однако данную формулу мы еще не можем применить для сравнения с экспериментом, потому что в нее входит коордиатные величины : $r_A$, $r_B$. То есть нам необходимо перейти от координатных величин к физически измеримым.

А еще $\Delta t$ - тоже координатная величина. И тогда вопрос, с точки зрения какого наблюдателя Вы хотите определить время туда-обратно?

[schekn]

apv в сообщении #741858 писал(а):

А еще $\Delta t$ - тоже координатная величина. И тогда вопрос, с точки зрения какого наблюдателя Вы хотите определить время туда-обратно?

Согласен. Назвал эту величину неправильно собственным временем . Я действительно в (1) и (4) посчитал координатное время. В основном приводится в статьях оно , поскольку наблюдатель В может двигаться в разных условиях (или на Земле или на спутнике). У меня он покоится. Тогда пункт 2 отпадает. Остаются замечания по пункту 1.

-- 01.07.2013, 10:07 --

Munin в сообщении #741834 писал(а):

Не знаете - не беритесь за такие задачи. Вы пока ещё должны букварь усвоить.

Скучно становится читать Ваши сообщения. Заранее можно предугадать, что напишите. Сказали бы что-то конструктивное.

[apv]

schekn в сообщении #741808 писал(а):

Если точки А и В это планеты, то их координаты заменяются без должной мотивировки на гелиоцентрические, а координата в опыте Эддингтона в предельном случае заменяется на ньютоновский радиус Солнца.

Как следует из ОТО, при круговом движении вокруг гравитирующего тела, координатная угловая скорость равна:

$$ \frac{d\varphi}{dt}=\sqrt\frac{M}{r^3}$$

(здесь $M$-масса гравитирующего тела в геометрических единицах).
Далее, пусть, например, наблюдатель находится в $A$, а планета в $B$. Координату $r_A$ можно вычислить, зная период вращения спутника по круговой орбите, запущенного NASA именно для этой цели.
Если орбита планеты почти круговая, то для определения координаты $r_B$, поступаем аналогично, если нет, расчеты немного усложняются. Чтобы много не писать, я, надеюсь, далее понятно, как соотносить темпы хода часов в разных точках с координатным временем.

-- Пн июл 01, 2013 10:39:29 --

PS

apv в сообщении #742070 писал(а):

Далее, пусть, например, наблюдатель находится в $A$, а планета в $B$. Координату $r_A$ можно вычислить, зная период вращения спутника по круговой орбите, запущенного NASA именно для этой цели.

Тут вот еще что пришло в голову.
Неподвижный наблюдатель в $A$, может измерить свою координату $r_A$ измеряя ускорение свободного падения, как известно:

$$g=\frac{M}{r_A^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r_A}}}$$

Измерив его, можно получить $r_A$ из этой формулы.

[schekn]

apv в сообщении #742070 писал(а):

Как следует из ОТО, при круговом движении вокруг гравитирующего тела, координатная угловая скорость равна:

В моей задаче никто никуда не движется. Значит в такой постановке задачи нельзя определить координаты $r_A$ и $r_B$ однозначно. Требуется дополнительные измерения. Что точнее: привязаться к периоду обращения или к табличным гелиоцентрическим значениям , это вопрос. Из Вашей формуле следует , что вклад в определении начальных данных вносит и угловая скорость и масса гравитирующего тела. Если орбита не круговая , то там появляется еще и зависимость от массы планет.

-- 01.07.2013, 11:52 --

apv в сообщении #742070 писал(а):

Неподвижный наблюдатель в $A$, может измерить свою координату $r_A$ измеряя ускорение свободного падения, как известно:

$$g=\frac{M}{r_A^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r_A}}}$$

Измерив его, можно получить $r_A$ из этой формулы.

А откуда такая формула, можете привести ссылку?
Значит еще и вносит погрешность измерения ускорения. С какой точностью Вы сможете это сделать - не знаю. У вас еще будет мешаться масса планеты А, если это планета.
Кстати по условию задачи наблюдатель только в В, в А - отражатель.

[apv]

schekn в сообщении #742073 писал(а):

В моей задаче никто никуда не движется.

Ну тогда измерьте ускорение свободного падения у себя и получите его значения (по мобильному) от того, кто сидив в $B$.

schekn в сообщении #742073 писал(а):

Кстати, что значит следует из ОТО? Из какого частного решения следует Ваша формула?

Запишите решение Шварцшильда, положив $dr=0, d\theta=0$. Получите одно уравнение. Далее запишите уравнения движения (aka уравнение геодезических). Получите второе уравнение. Система этих уравнений :

$$\left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^2=\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau }\right)^2-\frac{1}{r^2}\\ \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^2=\frac{M}{r^3}\left(1-\frac{3M}{r}\right)^{-1} \end{array} \right.$$

которая решает задачу о круговых орбитах в метрике Шварцшильда.

[apv]

schekn в сообщении #742073 писал(а):

А откуда такая формула, можете привести ссылку?

Дифференцируете скорость тела, измеряемую неподвижным наблюдатеоем по его собственному времени:

$$dr_{obs}/d\tau_A=-\sqrt{ \frac{ \frac{2M}{r}-\frac{2M}{r_A} } { 1-\frac{2M}{r_A}} }$$

здесь $dr_{obs}=\dfrac{dr}{ \sqrt{ 1-\frac{2M}{r_A} }}$
-- Пн июл 01, 2013 12:13:36 --

schekn в сообщении #742073 писал(а):

Кстати по условию задачи наблюдатель только в В, в А - отражатель.

Ну переверните все с ног на голову.

[schekn]

apv в сообщении #742076 писал(а):

которая решает задачу о круговых орбитах в метрике Шварцшильда.

Ну значит все таки следует из решения задачи в метрике Шварцшильда в стандартных координатах. Я собственно это и хотел уточнить.

[Munin]

Нет, вы можете всё это получить из метрики Шварцшильда в любых координатах. Просто придётся самому потрудиться, а не пользоваться готовыми решениями.

[schekn]

Munin в сообщении #742113 писал(а):

Нет, вы можете всё это получить из метрики Шварцшильда в любых координатах. Просто придётся самому потрудиться, а не пользоваться готовыми решениями.

Получить -то можно, я собственно так и решал задачу в разных координатах. Вопрос что брать в каждом случае в качестве начальных данных. Обычно подобные задачи в Солнечной системе решаются с помощью гармонического решения (Шварцшильдовского решения в гармонических координатах) или приближенного на его основе. И тогда у экспериментаторов все сходится.

[Munin]

schekn в сообщении #742225 писал(а):

Вопрос что брать в каждом случае в качестве начальных данных.

Их тоже надо пересчитывать к другим координатам. Если есть известные соотношения между координатами - просто преобразовывать по ним. Если нет - независимо вычислять из некоординатных данных измерений (пример - задача о четырёх точках, которую я вам задал в другой теме).

schekn в сообщении #742225 писал(а):

Обычно подобные задачи в Солнечной системе решаются с помощью гармонического решения (Шварцшильдовского решения в гармонических координатах) или приближенного на его основе. И тогда у экспериментаторов все сходится.

Как вам уже сказали, на основе какого ни решай, всё равно будет сходиться: в Солнечной системе отклонения метрики от плоской (!) составляют не более $10^{-6}$ (на поверхности Солнца). Очевидно, расхождения между разными координатизациями решения Шварцшильда будут ещё на порядки меньше. В то же время, расстояния и углы в Солнечной системе известны с точностью примерно не больше тех же шести знаков.