Матричное уравнение

[andreso]

Имеется уравнение.

$Y_k_+_1=(A_1-B_1K)Y_k+(A_2-B_2K^2)Y_k^2$

$Y_k_+_1,Y_k $ - векторы размером 2.

$A_1,A_2,B_1,B_2 $ - матрицы 2x2.

$K$ - матрица 2x2.

Собственно все известно, кроме матрицы K. Как ее в данном случае найти?

Вроде бы можно преобразовать выражение к виду и решить как квадратное уравнение:
$-B_2K^2Y_k^2-B_1KY_k+(A_1Y_k+A_2Y_k^2-Y_k_+_1)=V_0$,
где $V_0$ - нулевой вектор размером 2.

Для примера дискриминант находится как
$D=(-B_1Y_k)^2+4B_2Y_k^2(A_1Y_k+A_2Y_k^2-Y_k_+_1)$

Соответственно по стандартным формулам можно найти два решения.
Однако стоит заметить, что в этом случае результат K - это вектор размером 2. Значит где-то делаю глупую ошибку.

[Otta]

andreso в сообщении #742168 писал(а):

Имеется уравнение.

$Y_k_+_1=(A_1-B_1K)Y_k+(A_2-B_2K^2)Y_k^2$

А квадрат вектора - это как?

[sergei1961]

Квадратное матричное уравнение-это матричное уравнение Риккати. Есть разные теории решения, но это совсем не просто, насколько я знаю.

[andreso]

Цитата:

А квадрат вектора - это как?

Сейчас это не принципиально (грамотно или не грамотно записано). Можно считать еще одним известным вектором размером 2.

[Otta]

andreso в сообщении #742175 писал(а):

Сейчас это не принципиально (грамотно или не грамотно записано).

То есть непринципиально, какую задачу мы будем решать. Главное не победа, главное участие.

Хорошо. Другой вектор. Зачем введена нумерация, так что складывается впечатление, что $\{Y_k\}$ - это система векторов? Она по существу, или это тоже непринципиально?

[andreso]

Здесь имеется функция стробоскопического отображения
$Y_k_+_1=f(Y_k)$, которая фактически была записана выше. k - номер итерации. Нас интересует только одна итерация, поэтому про к можно не вспоминать.

$Y_k_+_1$ и $Y_k$ известны, но нужно найти матрицу K. Вот и вся задача. $Y_k^2$ состоит из квадратов компонентов вектора $Y_k$

[Otta]

Спасибо, так лучше. Но Вы не восстановите матрицу по таким данным.
Посмотрите на задачу попроще:

Пусть $K$ - матрица порядка 2, векторы $x, y$ известны. Например, $x=(1,1), y=(1,2)$.
И $Kx=y$. Чему равна $K$?

Два уравнения, четыре неизвестных....

В исходной задаче, как видно, то же самое. Возможно, по результатам двух итераций можно ее восстановить, если ничто не помешает (напр., линейная зависимость в получившейся системе). Посмотрите. Но там уже что-то квадратичное полезет.

[andreso]

Otta в сообщении #742213 писал(а):

Спасибо, так лучше. Но Вы не восстановите матрицу по таким данным.
Посмотрите на задачу попроще:

Пусть $K$ - матрица порядка 2, векторы $x, y$ известны. Например, $x=(1,1), y=(1,2)$.
И $Kx=y$. Чему равна $K$?

Два уравнения, четыре неизвестных....

Вы абсолютно правы. Попытаюсь свести свою чисто техническую проблему к более корректной математической задаче. Хотя в приведенном вами случае просто существует много решений и найти одно из них не представляет проблему. Просто какое из множества решений более удобно в моей задаче - это еще вопрос.

[Otta]

andreso

andreso в сообщении #742216 писал(а):

Хотя в приведенном вами случае просто существует много решений и найти одно из них не представляет проблему. Просто какое из множества решений более удобно в моей задаче - это еще вопрос.

Если я правильно понимаю задачу, Вам известен результат каждой итерации. Так? Если так, то соображений удобства явно недостаточно. Вам нужно, чтобы найденная матрица подходила для каждого шага.

Или Вам известны только несколько первых приближений, и Вы ищете матрицу с тем, чтобы прогнозировать поведение остальных?

[andreso]

Otta в сообщении #742219 писал(а):

Если я правильно понимаю задачу, Вам известен результат каждой итерации. Так? Если так, то соображений удобства явно недостаточно. Вам нужно, чтобы найденная матрица подходила для каждого шага.

Или Вам известны только несколько первых приближений, и Вы ищете матрицу с тем, чтобы прогнозировать поведение остальных?

Скажем так. На каждой итерации я четко знаю куда я хочу попасть из точки $Y_k$ и для того, чтобы туда попасть мне нужно найти корректирующую матрицу K (одно из возможных ее значений).

[Otta]

Хм. То есть матрица, вообще говоря, может зависеть от номера итерации? На каждом шаге своя?

[andreso]

Otta в сообщении #742240 писал(а):

Хм. То есть матрица, вообще говоря, может зависеть от номера итерации? На каждом шаге своя?

В общем-то да.