Вещественное представление группы кватернионов

[Sonic86]

Группа кватернионов - $Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$.
Вещественное матричное представление кватернионов:
$a+bi+cj+dk\mapsto \left(\begin{matrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{matrix}\right)$
В частности, $i\mapsto \left(\begin{matrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right), \ \ j\mapsto \left(\begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right), \ \ k\mapsto \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$
Из него получаем представление $\Phi$ группы $Q$ в $\operatorname{GL}_4(\mathbb{R})$.

Я не могу понять, это представление приводимо или нет?
С одной стороны, найдем характер представления: $\chi (\pm E)=\pm 4$, характеры остальных матриц равны нулю и тогда $(\chi_\Phi, \chi_\Phi)=\frac{1}{8}(4^2+4^2)=2>1$ - значит представление приводимо (скорее всего оно распадается в прямую сумму представлений размерности 2). Вещественное представление является комплексным.
С другой стороны, возьмем вектор $x=(1,1,1,1)$, вычислим $\Phi_i(x),\Phi_j(x),\Phi_k(x)$, все соберем в определитель:
$\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{matrix}\right|=16\neq 0$
Т.е. $\{x,\Phi_i(x),\Phi_j(x),\Phi_k(x)\}$ - базис $\mathbb{R}^4$, значит $\Phi$ - неприводимо.
Наконец, я попытался взять 2-мерное представление $Q$ и овеществить его - нетрудно убедиться, что это невозможно.
Где я ошибаюсь?

[Xaositect]

Sonic86 в сообщении #741905 писал(а):

С одной стороны, найдем характер представления: $\chi (\pm E)=\pm 4$, характеры остальных матриц равны нулю и тогда $(\chi_\Phi, \chi_\Phi)=\frac{1}{8}(4^2+4^2)=2>1$ - значит представление приводимо (скорее всего оно распадается в прямую сумму представлений размерности 2). Вещественное представление является комплексным.

Этот критерий применим только над алгебраически замкнутым полем. Соответствующее комплексное представление действительно приводимо (сумма двух двумерных).

Sonic86 в сообщении #741905 писал(а):

С другой стороны, возьмем вектор $x=(1,1,1,1)$, вычислим $\Phi_i(x),\Phi_j(x),\Phi_k(x)$, все соберем в определитель:
$\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{matrix}\right|=16\neq 0$
Т.е. $\{x,\Phi_i(x),\Phi_j(x),\Phi_k(x)\}$ - базис $\mathbb{R}^4$, значит $\Phi$ - неприводимо.

А тут я не понял, что Вы используете. Этот определитель не равен нулю и для коплексифицированного представления, а оно приводимо.

[Sonic86]

Xaositect в сообщении #741922 писал(а):

Этот критерий применим только над алгебраически замкнутым полем. Соответствующее комплексное представление действительно приводимо (сумма двух двумерных).

Хорошо. Еще бы посмотреть на это 2-мерное представление...

Xaositect в сообщении #741922 писал(а):

А тут я не понял, что Вы используете.

Я пытался найти инвариантное подпространство. И наоборот: если группа действует на вектор так, что порождается все пространство, то значит, что представление неприводимо. Похоже, что здесь как раз ошибка: если я взял какой-то вектор $x$ и $Gx$ порождает все пространство $V$, то отсюда еще не следует, что $\Phi$ неприводимо, для этого нужно, чтобы $Gx$ порождало $V$ для любого $x$, а этого я не доказал. Вектор надо было лучше искать значит.

Спасибо! Пока буду дальше пытаться разлагать $\Phi$.

[Xaositect]

Sonic86 в сообщении #741932 писал(а):

Хорошо. Еще бы посмотреть на это 2-мерное представление...

Sonic86 в сообщении #741905 писал(а):

я попытался взять 2-мерное представление $Q$

Xaositect в сообщении #741949 писал(а):

Спасибо! Пока буду дальше пытаться разлагать $\Phi$.

Вы меня не так поняли.
4-мерное действительное представление, которое Вы рассматриваете, неприводимо (Я не знаю, как это можно было бы просто доказать, кроме как сказать, что $\mathbb{R}[Q] \cong \mathbb{H}\oplus \mathbb{R}^4$, приведя изоморфизм явно).
Раскладывается комплексное представление.

[Sonic86]

Xaositect в сообщении #741949 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Хорошо. Еще бы посмотреть на это 2-мерное представление...

Sonic86 писал(а):

я попытался взять 2-мерное представление $Q$

Я думал, есть вещественное 2-мерное представление $Q$, а в Википедии приведено невещественное.

Xaositect в сообщении #741949 писал(а):

Вы меня не так поняли.
4-мерное действительное представление, которое Вы рассматриваете, неприводимо (Я не знаю, как это можно было бы просто доказать, кроме как сказать, что $\mathbb{R}[Q] \cong \mathbb{H}\oplus \mathbb{R}^4$, приведя изоморфизм явно).
Раскладывается комплексное представление.

Ааа, понял. Т.е. то, что $(\chi_\Phi, \chi_\Phi)=2$ означает, что оно приводимо, но к невещественному представлению.
Попробую хотя бы приведенный изоморфизм доказать.
Спасибо!

Xaositect в сообщении #741949 писал(а):

Я не знаю, как это можно было бы просто доказать, кроме как сказать, что $\mathbb{R}[Q] \cong \mathbb{H}\oplus \mathbb{R}^4$, приведя изоморфизм явно

Интересно, а как в общем случае делают?