Эллипс Штейнера

[kalbasa]

Здравствуйте. Разбираюсь со следующей задачей.
Даны длины сторон треугольника. Необходимо для эллипса максимальной площади, вписанного в треугольник, найти расстояние между фокусами $|F_1F_2|$ и длину большой полуоси $R$

Рассуждал так. Эллипс максимальной площади - эллипс Штейнера. Он имеет св-во касаться сторон треугольника в серединах. Расположим треугольник в системе координат, так что одна из его вершин лежит в точке $O$ начала координат, а наибольшая сторона треугольника выходит из этой вершины и лежит на оси $X$. Тогда центр эллипса, лежащий в точке пересечения медиан, можно найти умножив на $\frac{2}{3}$ координаты точки касания эллипса стороны, противоположной вершине $O$. Итого у нас координаты 3ех точек эллипса и его центра.

Рассмотрим уравнение эллипса:

$\frac{((x-x_0)\cos\alpha+(y-y_0)\sin\alpha)^2}{a^2}+\frac{(-(x-x_0)\sin\alpha+(y-y_0)\cos\alpha)^2}{b^2}=1$

Неизвестные $a, b, \alpha$. По идее, имея 3 точки, составив систему из 3 уравнений, мы можем эти неизвестные найти, выразив через них ответ к задаче.

Получаем систему вида:

$\begin{cases}v(z_x_1q + z_y_1p)^2 + w(-z_x_1q + z_y_1p) = 1\\v(z_x_2q + z_y_2p)^2 + w(-z_x_2q + z_y_2p) = 1\\v(z_x_3q + z_y_3p)^2 + w(-z_x_3q + z_y_3p) = 1\\ p^2 + q^2 = 1\end{cases}$

где $p = \sin\alpha$, $q = \cos\alpha$, $z_x = x - x_0$, $z_y = y - y_0$, $v = \frac{1}{a^2}$, $w = \frac{1}{b^2}$

Как такая система решается? Причем получается, что есть еще и ограничения на $p,q,v,w$.

[kalbasa]

Прошу прощения, в системе в каждом уравнении вторая скобка в квадрате.

[ИСН]

Конечного ответа не знаю, но копал бы так: растяжением и наклоном превратим треугольник в равносторонний. Эллипс останется максимальным, но станет кругом. Теперь остаётся понять, что за преобразование у нас было.

[VAL]

ИСН в сообщении #741555 писал(а):

Конечного ответа не знаю

И это хорошо! Ибо спасает от нарушения правил форума

Цитата:

но копал бы так: растяжением и наклоном превратим треугольник в равносторонний. Эллипс останется максимальным, но станет кругом. Теперь остаётся понять, что за преобразование у нас было.

Родством оно называется.

Кстати, в позапрошлогоднем конкурсе головоломок подобная задачка предлагалась.

[kalbasa]

Ок, но знание площади эллипса позволяет лишь вывести соотношение между полуосями эллипса и заменить им одно из уравнений системы. Оно не позволяет решить систему или избавиться от ограничений в ней.

Или я чего-то не понимаю, и знание аффинного преобразования каким-то образом позволит найти из параметров равностороннего треугольника и круга параметры эллипса (фокальное расстояние и полуоси)?

[VAL]

kalbasa в сообщении #741694 писал(а):

Ок, но знание площади эллипса позволяет лишь вывести соотношение между полуосями эллипса и заменить им одно из уравнений системы. Оно не позволяет решить систему или избавиться от ограничений в ней.

Или я чего-то не понимаю, и знание аффинного преобразования каким-то образом позволит найти из параметров равностороннего треугольника и круга параметры эллипса (фокальное расстояние и полуоси)?

А знание уравнения эллипса поможет Вам найти ответы на интересующие Вас вопросы?

[kalbasa]

Я полагал, что знание уравнения эллипса даст знание коэффициентов $a$ и $b$, владея которыми можно выразить ответы на вопросы из условия. Разве нет?

[VAL]

kalbasa в сообщении #741710 писал(а):

Я полагал, что знание уравнения эллипса даст знание коэффициентов $a$ и $b$, владея которыми можно выразить ответы на вопросы из условия. Разве нет?

Конечно, да.
Но ведь рекомендованный Вам подход позволит найти уравнение. Разве нет?

[kalbasa]

Видимо вы намекаете на то, что мы можем как-то его использовать для преобразования уравнения круга в уравнение эллипса?

[VAL]

kalbasa в сообщении #741720 писал(а):

Видимо вы намекаете на то, что мы можем как-то его использовать для преобразования уравнения круга в уравнение эллипса?

Именно. Точнее, окружности.

[kalbasa]

То есть, окружности. Ок, буду разбираться, спасибо.