2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 12:50 


04/06/13
22
Здравствуйте. Разбираюсь со следующей задачей.
Даны длины сторон треугольника. Необходимо для эллипса максимальной площади, вписанного в треугольник, найти расстояние между фокусами $|F_1F_2|$ и длину большой полуоси $R$

Рассуждал так. Эллипс максимальной площади - эллипс Штейнера. Он имеет св-во касаться сторон треугольника в серединах. Расположим треугольник в системе координат, так что одна из его вершин лежит в точке $O$ начала координат, а наибольшая сторона треугольника выходит из этой вершины и лежит на оси $X$. Тогда центр эллипса, лежащий в точке пересечения медиан, можно найти умножив на $\frac{2}{3}$ координаты точки касания эллипса стороны, противоположной вершине $O$. Итого у нас координаты 3ех точек эллипса и его центра.

Рассмотрим уравнение эллипса:

$\frac{((x-x_0)\cos\alpha+(y-y_0)\sin\alpha)^2}{a^2}+\frac{(-(x-x_0)\sin\alpha+(y-y_0)\cos\alpha)^2}{b^2}=1$

Неизвестные $a, b, \alpha$. По идее, имея 3 точки, составив систему из 3 уравнений, мы можем эти неизвестные найти, выразив через них ответ к задаче.

Получаем систему вида:

$\begin{cases}v(z_x_1q + z_y_1p)^2 + w(-z_x_1q + z_y_1p) = 1\\v(z_x_2q + z_y_2p)^2 + w(-z_x_2q + z_y_2p) = 1\\v(z_x_3q + z_y_3p)^2 + w(-z_x_3q + z_y_3p) = 1\\ p^2 + q^2 = 1\end{cases}$

где $p = \sin\alpha$, $q = \cos\alpha$, $z_x = x - x_0$, $z_y = y - y_0$, $v = \frac{1}{a^2}$, $w = \frac{1}{b^2}$

Как такая система решается? Причем получается, что есть еще и ограничения на $p,q,v,w$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 14:15 


04/06/13
22
Прошу прощения, в системе в каждом уравнении вторая скобка в квадрате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Конечного ответа не знаю, но копал бы так: растяжением и наклоном превратим треугольник в равносторонний. Эллипс останется максимальным, но станет кругом. Теперь остаётся понять, что за преобразование у нас было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 17:40 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
ИСН в сообщении #741555 писал(а):
Конечного ответа не знаю
И это хорошо! Ибо спасает от нарушения правил форума :D
Цитата:
но копал бы так: растяжением и наклоном превратим треугольник в равносторонний. Эллипс останется максимальным, но станет кругом. Теперь остаётся понять, что за преобразование у нас было.
Родством оно называется.

Кстати, в позапрошлогоднем конкурсе головоломок подобная задачка предлагалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 21:11 


04/06/13
22
Ок, но знание площади эллипса позволяет лишь вывести соотношение между полуосями эллипса и заменить им одно из уравнений системы. Оно не позволяет решить систему или избавиться от ограничений в ней.

Или я чего-то не понимаю, и знание аффинного преобразования каким-то образом позволит найти из параметров равностороннего треугольника и круга параметры эллипса (фокальное расстояние и полуоси)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 21:21 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
kalbasa в сообщении #741694 писал(а):
Ок, но знание площади эллипса позволяет лишь вывести соотношение между полуосями эллипса и заменить им одно из уравнений системы. Оно не позволяет решить систему или избавиться от ограничений в ней.

Или я чего-то не понимаю, и знание аффинного преобразования каким-то образом позволит найти из параметров равностороннего треугольника и круга параметры эллипса (фокальное расстояние и полуоси)?
А знание уравнения эллипса поможет Вам найти ответы на интересующие Вас вопросы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 21:46 


04/06/13
22
Я полагал, что знание уравнения эллипса даст знание коэффициентов $a$ и $b$, владея которыми можно выразить ответы на вопросы из условия. Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 21:59 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
kalbasa в сообщении #741710 писал(а):
Я полагал, что знание уравнения эллипса даст знание коэффициентов $a$ и $b$, владея которыми можно выразить ответы на вопросы из условия. Разве нет?
Конечно, да.
Но ведь рекомендованный Вам подход позволит найти уравнение. Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 22:08 


04/06/13
22
Видимо вы намекаете на то, что мы можем как-то его использовать для преобразования уравнения круга в уравнение эллипса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 22:20 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
kalbasa в сообщении #741720 писал(а):
Видимо вы намекаете на то, что мы можем как-то его использовать для преобразования уравнения круга в уравнение эллипса?
Именно. Точнее, окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс Штейнера
Сообщение29.06.2013, 22:28 


04/06/13
22
То есть, окружности. Ок, буду разбираться, спасибо. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group