Post-Zubelevich

[dovlato]

Теорема.
Пусть плоское тело вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг зафиксированной (т.е. неподвижной в пространстве и относительно тела) оси, лежащей в плоскости тела и проходящей через его центр масс. Тогда момент сил, действующих на ось со стороны тела, равен

$$M=\omega^2(I_{\max}-I_{\min})\sin(2\alpha)$$

Здесь $I_{\max},I_{\min}$ - соотв. максимальный и минимальный момент инерции для произвольной оси, проходящей через ц.м. и лежащей в плоскости тела;
$\alpha$ - угол между данной осью и тем направлением оси, для которого достигается $I_\max$.
Я получил это равенство, написав выражение для кинетической энергии и продифференцировав его по $\alpha$.

[Oleg Zubelevich]

Может уже пора рассмотреть произвольное твердое тело (не плоское) вращающееся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс?

-- Сб июн 29, 2013 16:26:31 --

кстати, а почему ось должна обязательно проходить через центр масс? Просто твердое тело крутится вокруг неподвижной оси, найти момент сил относительно центра масс тела действующих на ось .

[ewert]

dovlato в сообщении #741577 писал(а):

Тогда момент сил, действующих на ось со стороны тела, равен

$$M=\omega^2(I_{\max}-I_{\min})\sin(2\alpha)$$

См.:

ewert в сообщении #739008 писал(а):

Если ось вращения совпадает с одной из полуосей, то тензор инерции диагонален, причём на диагонали стоят главные моменты, т.е. $J_a=\dfrac{ma^2}4$ и $J_b=\dfrac{mb^2}4$. При повороте оси внедиагональный элемент $(J_a-J_b)\sin\alpha\cos\alpha$ тензора инерции становится ненулевым; именно этот элемет после умножения на $\omega$ и даёт величину момента импульса.

(на неосторожный термин "тензор инерции" не обращайте внимания, там далее разъяснено)

(Оффтоп)

кстати:

dovlato в сообщении #741577 писал(а):

Post-Zubelevich

-- а что с ним, почему пост?...

[dovlato]

Сдвиг ц.масс относительно оси никак этого момента не изменит (это можно доказать).
Результирующая, конечно, появится, причём обычная $mr_0\omega^2$.
А в трёхмерном виде - это надо думать. Здесь без тензора, возможно, и посложнее обойтись.

[Oleg Zubelevich]

Здесь думать неочем. Здесь надо стандартную формулу $\overline M_S=[\overline\omega,J_S\overline\omega]$ расписать по главным осям оператора инерции. ($S$ -- центр масс)