При каких значениях параметра единственное решение?

[Shadow]

lampard в сообщении #740263 писал(а):

Если $a=1$, то тоже только одно $(0;0)$, если $a>1$, то нужно смотреть на то самое квадратное уравнение?

Только одно $(\text{все};0)$

[lampard]

Спасибо, получается $a\in (-\infty;1]\cup (2;+\infty)$

Верно? При $a\in (2;+\infty)$ дискриминант отриц => только нулевое решение. При $a\in(1;2)$ дискриминант полож. значит хотя бы 2 решения. При $a=2$ можно отдельно проверить.

[mihailm]

То что дискриминант положительный - это необходимое, но недостаточное условие, надо еще какие-то слова сказать

[lampard]

mihailm в сообщении #740312 писал(а):

То что дискриминант положительный - это необходимое, но недостаточное условие, надо еще какие-то слова сказать

То есть то, что $t=\dfrac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{D}}{2(a^2-1)}>0$, то есть $0<D<12$, будет два корня? (я про случай $a>1$), а при $D>12$ и $a>1$ будет 1 корень?

Меня еще смущает, что $t=\dfrac{u}{v}$, то есть $u,v$ могут неединственны при одном и том же значении $t$.

[mihailm]

Лучше через теорему Виета: сумма корней чему равна?

[Shadow]

Задачу можно решать и так: Убедившись, что при любом a есть решение $(0,0)$ и что любое другое решение не будет единственным, поделить на $\sqrt{x+y}$, перейти к новой переменной $t=\dfrac{x}{x+y}$ и решать задачу: При каких a уравнение $a=\sqrt t+\sqrt{3(1-t)}$ не имеет решений. Тоесть, задача на нахождение минимума и максимума функции.

[lampard]

Shadow в сообщении #740453 писал(а):

Задачу можно решать и так: Убедившись, что при любом a есть решение $(0,0)$ и что любое другое решение не будет единственным, поделить на $\sqrt{x+y}$, перейти к новой переменной $t=\dfrac{x}{x+y}$ и решать задачу: При каких a уравнение $a=\sqrt t+\sqrt{3(1-t)}$ не имеет решений. Тоесть, задача на нахождение минимума и максимума функции.

Спасибо, теперь понятно.