Задача про наклонный эллипс...

[AKV]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста разобраться...
Необходимо доказать, что система

\[ \begin{array}{l} x' = \sin (\omega t) \\ y' = \sin (\omega t + \phi ) \\ \end{array} \]

является параметрическим описанием наклонного эллипса.
Также необходимо найти параметры этого наклонного эллипса (большую и малую полуось и угол наклона большой полуоси к оси X).

[Алексей К.]

Для начала либо уберите штрихи, либо поясните что речь идёт о производных.
Скорее всего, по $t$. А ещё скорее всего --- никаких производных нет,
просто $x(t)$ и $y(t)$.
Что именно $t$ является параметром, мы и сами догадались, но...
Далее раскройте sinus суммы, и $\sin \omega t$ и $\cos \omega t$ и выразите через тангенс половинного угла, т.е. $\tan\frac{\omega t}{2}$.
Это весьма полезное преобразование, и если оно Вам неизвестно --- возьмите на заметку.
Далее $\tan\frac{\omega t}{2}$ обозначьте какой-нибудь хорошей буковкой, например, $u$.
Результат можно вывесить на доске.
(Я предлагаю самый тупой способ решения, возможно кто-то сразу нужную подстановочку покажет).

Добавлено спустя 13 минут 15 секунд:

Если мы так уверены, что это эллипс, то можно ещё убедиться, что кривая центрально-симметрична, т.е. эллипс с центром в начале координат. Тогда, найдя экстремумы функции $x(t)^2+y(t)^2$, найдём полуоси и их наравления. А потом повернём на найденный угол --- и совсем убедимся, что это эллипс.

[AKV]

Извините, дополню описание задачи:

\[ \begin{array}{l} x' \\ y' \\ \end{array} \]

это не производные, а просто штрихи...

О каком преобразовании идет речь?

\[ tg\frac{{\omega t}}{2} = \frac{{\sin \omega t}}{{1 + \cos \omega t}} = \frac{{1 - \cos \omega t}}{{\sin \omega t}} \]

Об этом?

[Алексей К.]

"обозначения, усложнённые безо всякой на то нужды".
Штрихи ещё пригодятся, если вдруг систему координат крутить будем. Приберегите их на будущее.

[AKV]

Штрихи убрал и обобщил задачу:

\[ \begin{array}{l} x = A\sin (\omega t) \\ y = B\sin (\omega t + \phi ) \\ \end{array} \]

где A, B, \omega, \phi - фиксированные параметры...

[Алексей К.]

а решать чо-нибудь будем?
типа с тангенсами колупаться, или экстремум выискивать...

Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды:

AKV писал(а):

О каком преобразовании идет речь?

\[ tg\frac{{\omega t}}{2} = \frac{{\sin \omega t}}{{1 + \cos \omega t}} = \frac{{1 - \cos \omega t}}{{\sin \omega t}} \]

Об этом?

$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$, $\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$, где $u=\tan\frac{ x}{2}$.

[AKV]

Изложу, до чего я дошел при решении этой задачи:

Легко показать, что параметрическое описание обычного не наклонного эллипса может быть представлено в виде следующей системы:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x = a\cos (\omega t) \\ y = b\sin (\omega t) \\ \end{array} \right. \]

Также из аналитической геометрии известно, что при повороте системы координат против часовой стрелки на угол \phi, координаты объектов в новой системе выражаются через координаты объектов в старой системе следующим образом:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x' = x\cos (\phi ) + y\sin (\phi ) \\ y' = - x\sin (\phi ) + y\cos (\phi ) \\ \end{array} \right. \]

Следовательно, в случае эллипса, получается:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x' = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\ y' = - a\sin (\phi )\cos (\omega t) + b\cos (\phi )\sin (\omega t) \\ \end{array} \right. \]

Итак, чтобы однозначно определить наклонный эллипс, нужно знать параметры a, b, \phi.

Попробуем сделать это. Рассмотрим следующую систему уравнений в повернутой системе координат x' y':

\[ \begin{array}{l} x' = A\sin (\omega t) \\ y' = B\sin (\omega t + \theta ) \\ \end{array} \]

где A, B, \omega, \theta - фиксированные параметры, а t - переменный параметр.

Из этого имеем:

\[ \begin{array}{l} x' = A\sin (\omega t) = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\ \Rightarrow a\cos (\phi )\cos (\omega t) + (b\sin (\phi ) - A)\sin (\omega t) = 0 \\ \end{array} \]

Это первое уравнение системы для нахождения параметров a, b, \phi.
Получим остальные два уравнения системы:

\[ \begin{array}{l} y' = B\sin (\omega t + \theta ) = \\ B\cos (\theta )\sin (\omega t) + B\sin (\theta )\cos (\omega t) = \\ b\cos (\phi )\sin (\omega t) - a\sin (\phi )\cos (\omega t) \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B\cos (\theta ) = b\cos (\phi ) \\ B\sin (\theta ) = - a\sin (\phi ) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]

Итого, для нахождения параметров a, b, \phi необходимо решить следующую систему уравнений:

\[ \left\{ \begin{array}{l} a\cos (\phi )\cos (\omega t) + (b\sin (\phi ) - A)\sin (\omega t) = 0 \\ B\cos (\theta ) = b\cos (\phi ) \\ B\sin (\theta ) = - a\sin (\phi ) \\ \end{array} \right. \]

Как это сделать я пока не знаю...

[Алексей К.]

Выглядит разумно и правильно. Я нацеливал на получение неявного уравнения, а это, может и лучше. Ща попробую распечатать, спрятаться в курилке, проверить и подсказать...
Но Вы заметили, что омегу не надо совать в каждую формулу, что она здесь лишняя, что она всегда будет в паре с $t$ и о ней следует забыть: $\omega t \to t$. Это косметика, а не облегчение решения.

Добавлено спустя 19 минут 54 секунды:

AKV писал(а):

Легко показать, что параметрическое описание обычного не наклонного эллипса может быть представлено в виде следующей системы:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x = a\cos t \\ y = b\sin t \\ \end{array} \right. \]

При $t=0$ получится выделенная точка --- одна из 4-х вершин эллипса.

AKV писал(а):

\[ \begin{array}{l} x' = A\sin t \\ y' = B\sin ( t + \theta ) \\ \end{array} \]

где A, B, \omega, \theta - фиксированные параметры, а t - переменный параметр.

Но никто нам не гарантировал, что человек, написавший уравнение в такой форме, тоже сунул вершину в точку $t=0$. Как и остальные вершины.
Поэтому следовало записать первое уравнение в виде

\[ \left\{ \begin{array}{l} x = a\cos u \\ y = b\sin u\\ \end{array} \right. \]

и искать ещё и соответствие $t \to u$.
Мой способ --- избавиться от параметра вообще --- может оказатьcя продуктивнее.

Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:

Избавиться, получить неявное уравнение $F(x,y)=0$, и там либо считать инварианты квадратичной формы, либо приводить к главным осям... возможно, будет не очень муторно.

Добавлено спустя 27 минут 10 секунд:

Собираясь линять, отмечу ещё одну штуку. Найденное значение $u$ для какой-то точки не будет её полярным углом. Точка $u={}^\pi\!/_{{\!}4}=45^\circ$ не будет лежать на биссектрисе первого квадранта. Об этом иногда забывают и делают дополнительные ошибки.

[незваный гость]

AKV писал(а):

Легко показать, что параметрическое описание обычного не наклонного эллипса может быть представлено в виде следующей системы:

…

AKV писал(а):

Из этого имеем:

Увы, не имеем. В этих уравнениях разные $t$ (разная параметризация). Отсюда и получается чушь.

~~

Путь для настоящих мужчин — честно исключить $\omega t$, получив квадратичную форму. Ее уже можно вращать, получим для нормализации эллипса уравнение для угла поворота типа $\tg (2\psi)=\frac{2 A B}{A^2-B^2} \cos \phi$ (нехитро понять, что происходит при $A=B$). А вот то, что она положительно определена, понятно сразу.

[AKV]

незваный гость

Цитата:

Увы, не имеем. В этих уравнениях разные $t$ (разная параметризация). Отсюда и получается чушь.

Поясните пожалуйста...

[Алексей К.]

Я Вам пояснил то же самое словами про вершину.
Может, Вы просто не прочитали и этих пояснений достаточно?

[незваный гость]

AKV писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} x' = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\ y' = - a\sin (\phi )\cos (\omega t) + b\cos (\phi )\sin (\omega t) \\ \end{array} \right. $
...
$ \begin{array}{l} x' = A\sin (\omega t) \\ y' = B\sin (\omega t + \theta ) \\ \end{array} $

Первую систему правильно записывать как
$ \left\{ \begin{array}{l} x' = a\cos (\phi )\cos (\omega t') + b\sin (\phi )\sin (\omega t') \\ y' = - a\sin (\phi )\cos (\omega t') + b\cos (\phi )\sin (\omega t') \\ \end{array} \right. $

[AKV]

Итак...

Если эллипс задан системой:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x = a\cos t \\ y = b\sin t \\ \end{array} \right. \]

то для новой системы координат, полученной поворотом исходной на угол против часовой стрелки на угол \phi справедливы следующие выражения:

$ \left\{ \begin{array}{l} x' = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\ y' = - a\sin (\phi )\cos (\omega t) + b\cos (\phi )\sin (\omega t) \\ \end{array} \right. $

Причем параметризация в обоих системах одинаковая.

Однако рассматриваемую систему в общем случае правильно записывать так:

$ \begin{array}{l} x' = A\sin (\omega t') \\ y' = B\sin (\omega t' + \theta ) \\ \end{array} $

где параметризация отличная от параметризации первых двух систем.

Я правильно понимаю?

Добавлено спустя 1 час 9 минут 59 секунд:

Идем по пути настоящих мужчин:

\[ \begin{array}{l} x = A\sin (\omega t) \Rightarrow \frac{x}{A} = \sin (\omega t) \\ y = B\sin (\omega t + \phi ) = B(\cos (\phi )\sin (\omega t) + \sin (\phi )\cos (\omega t)) = \\ = B(\cos (\phi )\sin (\omega t) + \sin (\phi )\sqrt {1 - \sin ^2 (\omega t)} ) \\ \\ \Rightarrow y = B(\cos (\phi )\frac{x}{A} + \sin (\phi )\sqrt {1 - \frac{{x^2 }}{{A^2 }}} ) = \\ = B(\cos (\phi )\frac{x}{A} + \sin (\phi )\frac{1}{A}\sqrt {A^2 - x^2 } ) = \\ = \frac{B}{A}(\cos (\phi )x + \sin (\phi )\sqrt {A^2 - x^2 } ) \\ \\ \Rightarrow y\frac{A}{B} - \cos (\phi )x = \sin (\phi )\sqrt {A^2 - x^2 } \\ y^2 \frac{{A^2 }}{{B^2 }} - 2xy\frac{A}{B}\cos (\phi ) + \cos ^2 (\phi )x^2 = A^2 \sin ^2 (\phi ) - x^2 \sin ^2 (\phi ) \\ \\ y^2 \frac{{A^2 }}{{B^2 }} - 2xy\frac{A}{B}\cos (\phi ) + x^2 - A^2 \sin ^2 (\phi ) = 0 \\ \end{array} \]

Теперь что делать с получившейся формой?

[незваный гость]

Теперь можно перейти в новые координаты $x'(x,y,\psi), y'(x,y,\psi)$, повернутую на угол $\psi$, и такую, что поворот уберет член $x y$ (q.v.)

[AKV]

Итак...

В результате преобразований получается квадратичная форма:

\[ x^2 \frac{1}{{A^2 }} + 2xy( - \frac{1}{{AB}}\cos (\phi )) + y^2 \frac{1}{{B^2 }} + ( - \sin ^2 (\phi )) = 0 \]

Так как второй инвариант для этой формы всегда, за исключением определенных точек, больше нуля, то форма описывает эллипс.

Так как все коэффициенты линейной части за исключением свободного члена равны нулю, то этот эллипс является центральным (один центр и он расположен в начале координат).

Угол поворота эллипса \theta можно найти из следующего уравнения:

\[ ctg(2\theta ) = \frac{{a_{11} - a_{22} }}{{2a_{12} }} = \frac{{\frac{1}{{A^2 }} - \frac{1}{{B^2 }}}}{{2( - \frac{1}{{AB}}\cos (\phi ))}} = \frac{{A^2 - B^2 }}{{2AB\cos (\phi )}} \]

Однако как его дальше преобразовать, чтобы лучше выглядело, пока не знаю...

Также пока не знаю, как лучше выразить коэффициенты группы старших членов после поворота системы координат на угол \theta...