Упражнение по теорверу

[Cizz]

Здравствуйте, уважаемые дамы и господа! Помогите, пожалуйста, в решении данного упражнения:

Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B.
На самом деле, ответ мне известен и равен он $\frac{{(A-B)}^2}{4}$ и достигается в том случае, если случайная величина принимает значения А и В с равными вероятностями $p_{1,2} = \frac{1}{2}$. К сожалению, доказать этот факт строго у меня не получается, а формулировка "это же очевидно!" не совсем мне нравится. Просьба подсказать, как это можно доказать.

[ShMaxG]

Начните, например, так. Зафиксируйте в каком-нибудь месте отрезка $AB$ матожидание. Вспомните, что такое дисперсия. И подумайте теперь, как же задать случайную величину так, чтобы дисперсия была максимальной при условии, что матожидание фиксировано.

[Cizz]

Пусть $\xi$ - дискретно распределённая случайная величина, принимающая значения $x_1,....,x_n$
на $[a;b]$. Зафиксируем матожидание. Тогда
$D\xi = E{(\xi - E\xi )^2} = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - E\xi } \right)} ^2}P(\xi = {x_i}) = {\sum\limits_{{x_i} \leqslant E\xi } {\left( {{x_i} - E\xi } \right)} ^2}P(\xi = {x_i}) + {\sum\limits_{{x_i} > E\xi } {\left( {{x_i} - E\xi } \right)} ^2}P(\xi = {x_i}) \leqslant {\left( {a - E\xi } \right)^2} P(\xi = a) + {\left( {b - E\xi } \right)^2}P(\xi = b),\,P(\xi =a) = P(\xi = b) = \frac{1}{2}\,\,\,\,E\xi =\frac{{a + b}}{2}.$
Для непрерывной по аналогии. Можно ли так рассуждать?
Честно говоря, я в некотором ступоре. Интуитивно понятно, что при постоянном матожидании для увеличении дисперсии нужно значения, которые принимает $\xi$, нужно равномерно "раздвигать".

[ShMaxG]

Не совсем понял ваше решение. Но мне кажется, что рассматривать случаи дискретных и непрерывных случайных величин не нужно. Дисперсия -- средний квадрат отклонения от матожидания. Чтобы ее увеличить, необходимо, чтобы случайная величина была как можно плотнее была распределена как можно дальше от матожидания.

-- Вс ноя 11, 2012 15:45:09 --

Потому что, если случайная величина принимает какие-то значения не очень далеко от матожидания, то для увеличения дисперсии эти значения нужно сдвигать по-дальше.

[Cizz]

Да-да, это понятно. Непонятно, как это можно формально записать и потом вывести из этого ответ

[_Ivana]

А может разбить задачу на 2 составляющие?
1) Покажем, что для максимизации дисперсии величина должна принимать значения только в краях интервала. Допустим, у нас есть распределение случайной величины, которое дает некое матожидание. То же самое матожидание мы всегда можем получить, определяя отношение вероятностей величины в краях интервала, а дисперсия в этом случае будет больше.
2) Показать, что при значениях только в краях интервала максимум дисперсии достигается при симметричном распределении.

[steninss]

$Dx = \int\limits_a^bx^2f(x)dx - (\int\limits_a^bxf(x)dx)^2$. Сделаем замену $x = y(b-a) + a.$ Переменная "y" принимает значения от нуля до одного, поэтому для любой неотрицательной функции $g(x)$ будет выполнено

$$\int\limits_0^1y^2g(y)dy\leq \int\limits_0^1yg(y)dy.$$

Этот факт и пустим в оборот. Поехали.

$$Dx = \int\limits_a^bx^2f(x)dx - (\int\limits_a^bxf(x)dx)^2 = $$ $$ = \int\limits_0^1(y(b-a)+a)^2f(y)(b-a)dy - (\int\limits_0^1(y(b-a)+a)f(y)(b-a)dy)^2\leq$$

Обозначим $z = \int\limits_0^1yf(y)(b-a)dy $ и учтём неравенство, полученное в начале рассуждения, а также то, что $\int\limits_0^1f(y)(b-a)dy = 1$. Тогда, продолжая цепочку неравенств

$$ \leq (b-a)^2z+2a(b-a)z + a^2 - ((b-a)z + a)^2$$

Это квадратичная функция относительно "z". Ее максимум в точке $z = \frac 12$ и значение в этой точке $\frac{(b-a)^2}4$

[Cizz]

Спасибо большое.

[steninss]

Cizz
Мораль была проста. Есть задача про оценку максимальной дисперсии случайной величины, принимающей значения на [0,1]. Там всё решается очень просто:

$$ Dx = \int\limits_0^1x^2f(x)dx - (\int\limits^1_0xf(x)dx)^2 \leq $$

$$ \leq \int\limits_0^1xf(x)dx - (\int\limits^1_0xf(x)dx)^2 = $$

$$ = z - z^2 \leq \frac 14 $$

при $z = \frac 12$
Надо было просто свести одну задачу ко второй.

[the_jack]

Объясните пожалуйста, почему между интегралом x^2 * f(x) dx и Интегралом x * f(x) * dx неравенство нестрогое? В каких случаях может достигаться равенство? Такое на мой взгляд могло бы быть только в случае, когда f(x) принимает значение большее 0 в точке 1, и 0 во всех остальных точках интервала, но это не возможно в силу определения плотности вероятности. Потому что интеграл от нее должен быть равен 1. Таким образом, если мое утверждение верно, то выходит, что Вы только предлагаете верхнюю оценку на дисперсию равную 0.25, но это не является максимальной возможной дисперсией.

[ewert]

the_jack в сообщении #741220 писал(а):

Объясните пожалуйста, почему между интегралом x^2 * f(x) dx и Интегралом x * f(x) * dx неравенство нестрогое?

А почему бы и нет, если нестрогого достаточно?

На самом деле оно строгое только для непрерывной случайной величины. В предыдущих постах следовало всего-навсего вместо обычных интеграла выписывать интегралы Стилтьеса, как и положено для случайной величины общего вида, и тогда оно будет именно нестрогим.

[the_jack]

Нестрогого достаточно, но это нужно доказать! Проблема в том, что если равенства нет, то о max дисперсии ничего утверждать нельзя. К примеру, я могу провести оценку интеграл x^2 * f(x) * dx <= 2 * интеграл x * f(x) * dx (просто умножил на 2 интеграл), и получу совсем другую оценку на дисперсию: 2 * z - z ^2 <= 1, достигающейся при z = 1.

А что за интегралы Стилтьеса? Мне казалось, что общий вид - это композиция непрерывного и дискретного распределения случайной величины...

[ewert]

the_jack в сообщении #741249 писал(а):

Проблема в том, что если равенства нет,

Как же нет, когда этот случай явно предъявляется (два одинаковых "точечных заряда" на концах).

the_jack в сообщении #741249 писал(а):

Мне казалось, что общий вид - это композиция непрерывного и дискретного распределения случайной величины...

Нет, непрерывные и дискретные величины -- это лишь два крайних случая. Общий же случай описывается произвольной монотонной функцией распределения $F(x)$, и описывается вот ровно интегралами Стилтьеса типа $M[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\,dF(x)$. Которые в частном случае непрерывных распределений формально превращаются в обычные интегралы от плотности, а в случае дискретных -- в обычные суммы.

[the_jack]

Цитата:

когда этот случай явно предъявляется (два одинаковых "точечных заряда" на концах

Можно поподробнее? чему равна плотность вероянтности?

[ewert]

the_jack в сообщении #741254 писал(а):

чему равна плотность вероянтности?

Ничему -- это дискретное распределение. Ну или, если угодно, равна комбинации двух дельта-функций.