Упражнение по теорверу

[the_jack]

Ясно, спасибо, я просто с самого начала именно про непрерывное распределение писал.

[ewert]

Для непрерывного распределения верхняя граница, естественно, не достигается. Поскольку неравенство
$ \int\limits_0^Lx^2\,dF(x)\leqslant L\int\limits_0^Lx\,dF(x) $ превращается в равенство тогда и только тогда, когда $dF(x)=0$ всюду, кроме точек $x=0$ и $x=L$. Т.е. только на двухточечном дискретном распределении. Однако по непрерывным распределениям можно подобраться к этой границе сколь угодно близко.

[Deggial]

the_jack в сообщении #741220 писал(а):

Объясните пожалуйста, почему между интегралом x^2 * f(x) dx и Интегралом x * f(x) * dx неравенство нестрогое?

the_jack, предупреждение за неоформление формул $\TeX$ом.

[xolodec]

steninss в сообщении #700078 писал(а):

Сделаем замену $x = y(b-a) + a.$

steninss в сообщении #700078 писал(а):

$$Dx = \int\limits_a^bx^2f(x)dx - (\int\limits_a^bxf(x)dx)^2 = $$

$$ = \int\limits_0^1(y(b-a)+a)^2f(y)(b-a)dy - (\int\limits_0^1(y(b-a)+a)f(y)(b-a)dy)^2\leq$$

Разве правильно в данном случае мы перешли к плотности распределения $y$ ?
Пусть мы действительно сделали замену $X = Y(b-a) + a$. Тогда $Y =\frac{X - a}{b - a}$.

$$ F_Y(x) = P\{ Y \le X \} = P \{ X \le (b-a)x + a\} = F_X ((b-a)x +a)$$

Далее, дифференциируя, получаем, что

$$f_Y(x) = f_X((b-a)x +a) \cdot (b-a) $$

Почему же тогда в посте steninss написана просто $f(y)$ ?
Или я где-то ошибся ?

[ShMaxG]

xolodec
Потому что с одной стороны Вы подразумеваете под $x$ значения, которые принимает случайная величина $X$, а под $y$ -- значения случайной величины $Y$, а с другой стороны пишете $f_Y(x)$, а не $f_Y(y)$. Формально верно, конечно, писать и $f_Y(x)$, но тогда этот $x$ -- это не тот $x$, который стоит в равенстве $x=(b-a)y+a$, а $y$. То есть если вводите какие-то соотношения между $x,y$, то и используйте их по месту.

-- Вт май 05, 2015 12:45:24 --

Впрочем, эти замены переменных у steninss меня удручают. Ведь можно было бы просто написать

$$\[\begin{array}{l} {\bf{D}}X = {\left( {b - a} \right)^2}{\bf{D}}Y = {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {\int\limits_0^1 {{y^2}{f_Y}\left( y \right)dy} - {{\left( {\int\limits_0^1 {y{f_Y}\left( y \right)dy} } \right)}^2}} \right] \le \\ \le {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {\underbrace {\int\limits_0^1 {y{f_Y}\left( y \right)dy} }_z - \underbrace {{{\left( {\int\limits_0^1 {y{f_Y}\left( y \right)dy} } \right)}^2}}_{{z^2}}} \right] = {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {z - {z^2}} \right] \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4} \end{array}\]$$

-- Вт май 05, 2015 12:49:49 --

Правда, надо иметь ввиду, что это все выкладки написаны для случая, когда $Y$ абсолютно непрерывная случайная величина. Но это не проблема, достаточно вместо $f_Y(y)dy$ везде писать $dF_Y(y)$, а под интегралами понимать интегралы Стилтьеса. Об этом еще ewert писал двумя постами выше.

[xolodec]

ShMaxG в сообщении #1011424 писал(а):

верно, конечно, писать и $f_Y(x)$, но тогда этот $x$ -- это не тот $x$, который стоит в равенстве $x=(b-a)y+a$, а $y$.

Поня, разобрался. Спасибо огромное! Действительно,

$$f_Y(y) = f_X(x) \cdot (b-a)$$

а выражение:

$$ F_Y(x) = P\{ Y \le x \} = P \{ X \le (b-a)x + a\} = F_X ((b-a)x +a)$$

должно быть на самом деле таким

$$ F_Y(y) = P\{ Y \le y \} = P \left\{ \frac{X-a}{b-a} \le \frac{x-a}{b-a} \right\} = F_X (x) = F_X ( (b-a)y + a) $$

Понял, спасибо большое.
После дифференциирования по $y$ обоих сторон как раз и множитель $(b-a)$ появится.

ShMaxG в сообщении #1011424 писал(а):

Ведь можно было бы просто написать

Спасибо еще раз! Здорово, но до интеграла Стильтеса я еще не дошел, но очень стремлюсь.

[ShMaxG]

xolodec в сообщении #1011430 писал(а):

до интеграла Стильтеса я еще не дошел, но очень стремлюсь.

А без Стилтьеса задача становится либо нерешаемой, либо решаемой чрезвычайно вычурными способами. Действительно, для всех абсолютно непрерывных случайных величин на отрезке $[a,b]$ мы нашли верхнюю границу дисперсии. Но на самом деле, ни на какой непрерывной случайной величине эта граница не достигается, поэтому задача все еще не решена. Аналогичные неравенства можно написать для случая дискретных случайных величин, и верхняя граница будет той же самой. Но там уже найдется дискретная случайная величина, на которой граница достигается. Ну хорошо, а как быть со всеми остальными случайными величинами? Непрерывными и дискретными случаями случайные величины не ограничиваются. Решение этой проблемы -- введение и использование подходящих математических инструментов, которые бы позволяли не рассматривать отдельно непрерывные, дискретные или другие типы случайных величин. То есть хотелось бы иметь способ писать одинаковые формулы во всех случаях. Этот выход найден -- предлагается использование интеграла Стилтьеса. Определение посмотрите в каком-нибудь учебнике по теории вероятностей. Например, в терминах интеграла Стилтьеса математическое ожидание записывается в виде

$$\int {xdF\left( x \right)},$$

здесь неразличимы случаи для дискретной величины или непрерывной. У непрерывной случайной величины $X$ существует плотность $f_X(x)$. По определению это значит, что

$$F\left( x \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {{f_X}\left( t \right)dt}.$$

Но тогда $dF(x)=f_X(x)dx$. Подставляя это в выражение для мат. ожидания получаем привычное $\[\int {x{f_X}\left( x \right)dx} \]$, где интегрирование ведется по всем иксам. Если же случай дискретный, то $F(x)$ представляет собой кусочно-постоянную функцию. На тех иксах, где $F(x)$ постоянна, получается $dF(x)=0$, а на тех $x_k$, где $F(x)$ скачет, она изменяется на величину $p_k$, которая равна вероятности принять значение $x_k$. Примем это во внимание, тогда интеграл Стилтьеса превращается в знакомую сумму $\[\sum {{x_k}{p_k}} \]$. Пусть это будет Вам введением в интеграл Стилтьеса. Для этого интеграла справедливо множество аналогичных соотношений, как для интеграла Римана. Так что изучайте.

[xolodec]

ShMaxG в сообщении #1011437 писал(а):

Так что изучайте.

Спасибо огромное за объяснение и направление!
Открыл Гнеденко, читаю про интеграл Стильтьеса ))

[--mS--]

ShMaxG в сообщении #1011437 писал(а):

А без Стилтьеса задача становится либо нерешаемой, либо решаемой чрезвычайно вычурными способами.

Простите некроманта, но вот эта фраза меня наконец нашла, не могу молчать :).

Если $\mathsf P(0\leq \xi\leq 1)=1$, то $\xi^2\leq \xi$ п.н., и

$$ \mathsf D\xi = \mathsf E\xi^2-(\mathsf E\xi)^2 \leq \mathsf E\xi-(\mathsf E\xi)^2 = z-z^2\leq \frac14. $$

Соответственно, равенство в первом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $\mathsf P(\xi=\xi^2)=1$ (свойство матожидания), т.е. $\mathsf P(\xi=0)+\mathsf P(\xi=1)=1$, а во втором неравенстве равенство достигается лишь когда $z=\mathsf E\xi=\frac12$. Отсюда получаем, что равенство возможно лишь на двухточечном распределении с равными вероятностями концов.

Для $\xi\in[a,b]$ переход к $\eta=\frac{\xi-a}{b-a}$ с дисперсиями $\mathsf D\xi=(b-a)^2\mathsf D\eta$ решает всё.