Неравенство

[daogiauvang]

Доказать, что $ \frac{1}{2 \sqrt{1}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{4 \sqrt{3}}+\dots+ \frac{1}{2014 \sqrt{2013}} <2$

[ewert]

$$<\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac1{(k+1)\sqrt k}<\int\limits_{\frac12}^{+\infty}\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt x}=2\left(\dfrac{\pi}2-\arctg\dfrac1{\sqrt2}\right),\ \ \text{где}\ \ \arctg\dfrac1{\sqrt2}>\dfrac1{\sqrt2}-\dfrac1{3\cdot2\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{12}>0.58$$

[daogiauvang]

Сможете решить проще, эта задача для школьников.

[Whitaker]

daogiauvang
Как тут еще проще?
Интегралы в школе проходят ведь. Здесь всего лишь интегральные суммы заменяют интегралом и все!

[ewert]

Проще -- очень вряд ли. Элементарнее -- пожалуйста: по индукции $\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{(k+1)\sqrt k}<2-\dfrac2{\sqrt n}$. Но в этом тоже есть некоторое жульничество: поди ещё угадай (не зная интегралов), почему последняя дробь именно такая.

[nnosipov]

ewert в сообщении #741243 писал(а):

Но в этом тоже есть некоторое жульничество: поди ещё угадай (не зная интегралов), почему последняя дробь именно такая.

Это жульничество можно "отмыть": записать дробь в виде $c/n^\alpha$ и затем подобрать параметры $c$ и $\alpha$ так, чтобы шаг индукции проходил.