2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство
Сообщение28.06.2013, 10:17 
Аватара пользователя
Доказать, что $ \frac{1}{2 \sqrt{1}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{4 \sqrt{3}}+\dots+ \frac{1}{2014 \sqrt{2013}} <2$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2013, 10:37 
$$<\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac1{(k+1)\sqrt k}<\int\limits_{\frac12}^{+\infty}\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt x}=2\left(\dfrac{\pi}2-\arctg\dfrac1{\sqrt2}\right),\ \ \text{где}\ \ \arctg\dfrac1{\sqrt2}>\dfrac1{\sqrt2}-\dfrac1{3\cdot2\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{12}>0.58$$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2013, 10:48 
Аватара пользователя
Сможете решить проще, эта задача для школьников.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2013, 11:09 
Аватара пользователя
daogiauvang
Как тут еще проще?
Интегралы в школе проходят ведь. Здесь всего лишь интегральные суммы заменяют интегралом и все!

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2013, 11:18 
Проще -- очень вряд ли. Элементарнее -- пожалуйста: по индукции $\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{(k+1)\sqrt k}<2-\dfrac2{\sqrt n}$. Но в этом тоже есть некоторое жульничество: поди ещё угадай (не зная интегралов), почему последняя дробь именно такая.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2013, 16:18 
ewert в сообщении #741243 писал(а):
Но в этом тоже есть некоторое жульничество: поди ещё угадай (не зная интегралов), почему последняя дробь именно такая.
Это жульничество можно "отмыть": записать дробь в виде $c/n^\alpha$ и затем подобрать параметры $c$ и $\alpha$ так, чтобы шаг индукции проходил.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group