Одна интересная задачка.

[Хет Зиф]

Сплошное однородное бревно эллиптического сечения с полуосями
$a$ , $b$ , ($0<e << 1 , e = \frac{a-b}{R}, R=\frac{a+b}{2}$) , катится
по земле со средней скоростью $v_{0}$. Каким должно быть $v_{0}$ , чтобы бревно
при качении не проскальзывало, если коэффициент трения скольжения бревна о землю
равен $k$ ?

[Developer]

А что за странное условие в скобках у Вас, Хет Зиф: (0<<<1,=(a-b)/R)?
R - это средняя полуось эллипса, (a-b)/R > 0, если a>b...
А вот это "1,=(a-b)/R" как понять?

[Хет Зиф]

Developer
Да, там была ошибка, дело в том, что в моем ТеХе, в котором я обычно набираю задачи, символ \ve отбражается, а тут нет

[Bob Whiteman]

Developer писал(а):

А что за странное условие в скобках у Вас, Хет Зиф: (0<<<1,=(a-b)/R)?
R - это средняя полуось эллипса, (a-b)/R > 0, если a>b...
А вот это "1,=(a-b)/R" как понять?

Похоже, это следует читать так:
"разница полуосей значительно меньше самих полуосей", или "малая и большая полуоси весьма близки"...

[Хет Зиф]

Bob Whiteman
Верно

[Developer]

Ну, хорошо! Начнём издалека...
Хотя тут и качение, хотя и бревна, хотя и "обод" у бревна не круглый.
Рассмотрим такую задачу для первого приближения:
автомобиль резко берёт с места, раздаётся противный визг шин об асфальт, колёса какое-то время прокручиваются, автомобиль стоит на месте и только потом трогает.
То есть налицо задача о максимальной скорости вращения колеса (бревна), при которой линейная скорость точек соприкосновения бревна с поверхностью не приводит к проскальзыванию.
В точке соприкосновения бревна с поверхностью, по которой оно катится, должны действовать две уравновешивающие друг друга силы: с одной стороны, это сила трения скольжения, пропорциональная силе тяжести бревна и коэффициенту скольжения и направленная в противоположную движению сторону по касательной к поверхности.
А с другой? Сила тяги, вероятно.
Вот её и надо выразить через представленные Хет Зиф'ом величины...

[Хет Зиф]

Developer
А откуда же тут силе тяги взяться?? Бревно катится себе само и все!
Оцените, эту задачу по сложности на первый взгляд, критерии примерно такие: школьная, школьная олимпиадная- гор олимпиада,
областная олимпиада, зональная, всероссийская олимпиада, международная олимпиада, студ контрольная в МФТИ, экзаменац контрольная в МФТИ, олимпиаданая задача в МФТИ, теор мин Ландау по механике ??

[Developer]

Да, действительно, откуда?
Если на тело действует одна-единственная сила - сила трения, то с какого рожна оно возьмёт, да и покатится?
Тем более "Бревно катится себе само и все!"

[Хет Зиф]

Его вначале пустили, и оно покатилось!

[Developer]

Ага! Пустили вначале, то есть придали импульс и начальную кинетическую энергию, из которых и можно рассчитать параметры вращательного движения бревна (опять же для первого приближения без учёта разницы в размере полуосей эллипса)...

[Хет Зиф]

Developer
Так точно

[Zai]

В Вашей задаче есть еще одно ограничение на параметры эллипса. Движение катящегося эллипса аналогично движению идеального цилиндра по волнистой поверхности описываемой уравнением:
$ y=\frac {b-a} {2} \cos \frac {2x} { R}
Максимальный угол наклона должен удовлетворять условию:
$\alpha=\frac {b-a} { R} \le k

[Хет Зиф]

Zai
Во первых $b-a <0$. Во вторых что такое $\alpha $ ??

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Zai
На счет волнистой поверхности, мне что то трудно в это поверить, хотя не отрицаю, что это правильно. Про это где то написанно или Вы это сами придумали?

[Zai]

Хет Зиф писал(а):

Zai
Во первых $b-a <0$ . Во вторых что такое $\alpha $ ?? :wink:

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Zai
На счет волнистой поверхности, мне что то трудно в это поверить, хотя не отрицаю, что это правильно. Про это где то написанно или Вы это сами придумали? :wink:

1. Естественно что $(a-b) вместо $(b-a) в моем выражениях для волнистой поверхности и угле наклона. Прошу прощения за эту мою неточнось.
$ \alpha - максимальный угол наклона волнистой поверхности.

2. Волнистая поверхность. Возможно я это где-то прочитал будучи аспирантом, но ссылку я не помню.

[Хет Зиф]

Zai
Утверждение $\frac{a-b}{R}<k$ не верно.