Выглядит разумно и правильно. Я нацеливал на получение неявного уравнения, а это, может и лучше. Ща попробую распечатать, спрятаться в курилке, проверить и подсказать...
Но Вы заметили, что омегу не надо совать в каждую формулу, что она здесь лишняя, что она всегда будет в паре с
и о ней следует забыть:
. Это косметика, а не облегчение решения.
Добавлено спустя 19 минут 54 секунды:
AKV писал(а):
Легко показать, что параметрическое описание обычного не наклонного эллипса может быть представлено в виде следующей системы:
![\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = a\cos t \\
y = b\sin t \\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/a/57a92183e0e3e97431595e170185a05182.png "\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = a\cos t \\
y = b\sin t \\
\end{array} \right.
\]")
При
получится выделенная точка --- одна из 4-х вершин эллипса.
AKV писал(а):
![\[ \begin{array}{l} x' = A\sin t \\ y' = B\sin ( t + \theta ) \\ \end{array} \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/9/559003279ff0591441b335eb7bb2f39a82.png "\[ \begin{array}{l} x' = A\sin t \\ y' = B\sin ( t + \theta ) \\ \end{array} \]")
где
- фиксированные параметры, а
- переменный параметр.
Но никто нам не гарантировал, что человек, написавший уравнение в такой форме, тоже сунул вершину в точку
. Как и остальные вершины.
Поэтому следовало записать первое уравнение в виде
![\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = a\cos u \\
y = b\sin u\\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/0/c202fe5f15a6c495517c7b4fd075b11d82.png "\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = a\cos u \\
y = b\sin u\\
\end{array} \right.
\]")
и искать ещё и соответствие
.
Мой способ --- избавиться от параметра вообще --- может оказатьcя продуктивнее.
Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:
Избавиться, получить неявное уравнение
, и там либо считать инварианты квадратичной формы, либо приводить к главным осям... возможно, будет не очень муторно.
Добавлено спустя 27 минут 10 секунд:
Собираясь линять, отмечу ещё одну штуку. Найденное значение
для какой-то точки
не будет её полярным углом. Точка
не будет лежать на биссектрисе первого квадранта. Об этом иногда забывают и делают дополнительные ошибки.
01.08.2007, 16:02 
![\[
\begin{array}{l}
x' = \sin (\omega t) \\
y' = \sin (\omega t + \phi ) \\
\end{array}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486e80ba938e646dc99ab486eedf244082.png "\[
\begin{array}{l}
x' = \sin (\omega t) \\
y' = \sin (\omega t + \phi ) \\
\end{array}
\]")
и 
.
и 
и выразите через тангенс половинного угла, т.е. 
.
, найдём полуоси и их наравления. А потом повернём на найденный угол --- и совсем убедимся, что это эллипс.![\[
\begin{array}{l}
x' \\
y' \\
\end{array}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/0/ea081f3d1b3ef63e7349d59492a46e6e82.png "\[
\begin{array}{l}
x' \\
y' \\
\end{array}
\]")
![\[
tg\frac{{\omega t}}{2} = \frac{{\sin \omega t}}{{1 + \cos \omega t}} = \frac{{1 - \cos \omega t}}{{\sin \omega t}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/0/dc076652a56a0e21c0ccae4aae6ff97482.png "\[
tg\frac{{\omega t}}{2} = \frac{{\sin \omega t}}{{1 + \cos \omega t}} = \frac{{1 - \cos \omega t}}{{\sin \omega t}}
\]")
![\[ \begin{array}{l} x = A\sin (\omega t) \\ y = B\sin (\omega t + \phi ) \\ \end{array} \]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/7758fde0a4b1084fb28ea5c19950fb2282.png "\[ \begin{array}{l} x = A\sin (\omega t) \\ y = B\sin (\omega t + \phi ) \\ \end{array} \]")
- фиксированные параметры...
, 
, где 
.![\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = a\cos (\omega t) \\
y = b\sin (\omega t) \\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/d/30d3e021cb8ddc76bcb359e379905a9e82.png "\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = a\cos (\omega t) \\
y = b\sin (\omega t) \\
\end{array} \right.
\]")
, координаты объектов в новой системе выражаются через координаты объектов в старой системе следующим образом:
![\[
\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\cos (\phi ) + y\sin (\phi ) \\
y' = - x\sin (\phi ) + y\cos (\phi ) \\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/6/1263d3a07048221238a2f62cce18d1f982.png "\[
\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\cos (\phi ) + y\sin (\phi ) \\
y' = - x\sin (\phi ) + y\cos (\phi ) \\
\end{array} \right.
\]")
![\[
\left\{ \begin{array}{l}
x' = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\
y' = - a\sin (\phi )\cos (\omega t) + b\cos (\phi )\sin (\omega t) \\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/e/05e70e831a9bd0dd12766f9d3107341282.png "\[
\left\{ \begin{array}{l}
x' = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\
y' = - a\sin (\phi )\cos (\omega t) + b\cos (\phi )\sin (\omega t) \\
\end{array} \right.
\]")
.
:
![\[ \begin{array}{l} x' = A\sin (\omega t) \\ y' = B\sin (\omega t + \theta ) \\ \end{array} \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/2/8623eecbd71c54f31545110f2bee26de82.png "\[ \begin{array}{l} x' = A\sin (\omega t) \\ y' = B\sin (\omega t + \theta ) \\ \end{array} \]")
![\[
\begin{array}{l}
x' = A\sin (\omega t) = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\
\Rightarrow a\cos (\phi )\cos (\omega t) + (b\sin (\phi ) - A)\sin (\omega t) = 0 \\
\end{array}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/8/a48cd20f8a3992eaeb4fc1d5230769c782.png "\[
\begin{array}{l}
x' = A\sin (\omega t) = a\cos (\phi )\cos (\omega t) + b\sin (\phi )\sin (\omega t) \\
\Rightarrow a\cos (\phi )\cos (\omega t) + (b\sin (\phi ) - A)\sin (\omega t) = 0 \\
\end{array}
\]")
![\[
\begin{array}{l}
y' = B\sin (\omega t + \theta ) = \\
B\cos (\theta )\sin (\omega t) + B\sin (\theta )\cos (\omega t) = \\
b\cos (\phi )\sin (\omega t) - a\sin (\phi )\cos (\omega t) \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B\cos (\theta ) = b\cos (\phi ) \\
B\sin (\theta ) = - a\sin (\phi ) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/e/00edaa4c073035be6894e68444f21b3f82.png "\[
\begin{array}{l}
y' = B\sin (\omega t + \theta ) = \\
B\cos (\theta )\sin (\omega t) + B\sin (\theta )\cos (\omega t) = \\
b\cos (\phi )\sin (\omega t) - a\sin (\phi )\cos (\omega t) \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B\cos (\theta ) = b\cos (\phi ) \\
B\sin (\theta ) = - a\sin (\phi ) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]")
![\[
\left\{ \begin{array}{l}
a\cos (\phi )\cos (\omega t) + (b\sin (\phi ) - A)\sin (\omega t) = 0 \\
B\cos (\theta ) = b\cos (\phi ) \\
B\sin (\theta ) = - a\sin (\phi ) \\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/7/6374c792ea992824938fc42384974c2282.png "\[
\left\{ \begin{array}{l}
a\cos (\phi )\cos (\omega t) + (b\sin (\phi ) - A)\sin (\omega t) = 0 \\
B\cos (\theta ) = b\cos (\phi ) \\
B\sin (\theta ) = - a\sin (\phi ) \\
\end{array} \right.
\]")
, получив квадратичную форму. Ее уже можно вращать, получим для нормализации эллипса уравнение для угла поворота типа 
(нехитро понять, что происходит при 
). А вот то, что она положительно определена, понятно сразу.
![\[ \left\{ \begin{array}{l} x = a\cos t \\ y = b\sin t \\ \end{array} \right. \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/a/ccad4ff28e7a1f41aee08d3cdf1a042682.png "\[ \left\{ \begin{array}{l} x = a\cos t \\ y = b\sin t \\ \end{array} \right. \]")
![\[
\begin{array}{l}
x = A\sin (\omega t) \Rightarrow \frac{x}{A} = \sin (\omega t) \\
y = B\sin (\omega t + \phi ) = B(\cos (\phi )\sin (\omega t) + \sin (\phi )\cos (\omega t)) = \\
= B(\cos (\phi )\sin (\omega t) + \sin (\phi )\sqrt {1 - \sin ^2 (\omega t)} ) \\
\\
\Rightarrow y = B(\cos (\phi )\frac{x}{A} + \sin (\phi )\sqrt {1 - \frac{{x^2 }}{{A^2 }}} ) = \\
= B(\cos (\phi )\frac{x}{A} + \sin (\phi )\frac{1}{A}\sqrt {A^2 - x^2 } ) = \\
= \frac{B}{A}(\cos (\phi )x + \sin (\phi )\sqrt {A^2 - x^2 } ) \\
\\
\Rightarrow y\frac{A}{B} - \cos (\phi )x = \sin (\phi )\sqrt {A^2 - x^2 } \\
y^2 \frac{{A^2 }}{{B^2 }} - 2xy\frac{A}{B}\cos (\phi ) + \cos ^2 (\phi )x^2 = A^2 \sin ^2 (\phi ) - x^2 \sin ^2 (\phi ) \\
\\
y^2 \frac{{A^2 }}{{B^2 }} - 2xy\frac{A}{B}\cos (\phi ) + x^2 - A^2 \sin ^2 (\phi ) = 0 \\
\end{array}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/0/d50f009021cffb7c7b44c0110e5f2bc382.png "\[
\begin{array}{l}
x = A\sin (\omega t) \Rightarrow \frac{x}{A} = \sin (\omega t) \\
y = B\sin (\omega t + \phi ) = B(\cos (\phi )\sin (\omega t) + \sin (\phi )\cos (\omega t)) = \\
= B(\cos (\phi )\sin (\omega t) + \sin (\phi )\sqrt {1 - \sin ^2 (\omega t)} ) \\
\\
\Rightarrow y = B(\cos (\phi )\frac{x}{A} + \sin (\phi )\sqrt {1 - \frac{{x^2 }}{{A^2 }}} ) = \\
= B(\cos (\phi )\frac{x}{A} + \sin (\phi )\frac{1}{A}\sqrt {A^2 - x^2 } ) = \\
= \frac{B}{A}(\cos (\phi )x + \sin (\phi )\sqrt {A^2 - x^2 } ) \\
\\
\Rightarrow y\frac{A}{B} - \cos (\phi )x = \sin (\phi )\sqrt {A^2 - x^2 } \\
y^2 \frac{{A^2 }}{{B^2 }} - 2xy\frac{A}{B}\cos (\phi ) + \cos ^2 (\phi )x^2 = A^2 \sin ^2 (\phi ) - x^2 \sin ^2 (\phi ) \\
\\
y^2 \frac{{A^2 }}{{B^2 }} - 2xy\frac{A}{B}\cos (\phi ) + x^2 - A^2 \sin ^2 (\phi ) = 0 \\
\end{array}
\]")
, повернутую на угол 
, и такую, что поворот уберет член 
(
![\[
x^2 \frac{1}{{A^2 }} + 2xy( - \frac{1}{{AB}}\cos (\phi )) + y^2 \frac{1}{{B^2 }} + ( - \sin ^2 (\phi )) = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/2/302de9463d5b926ae1e24e5f9cf38fdb82.png "\[
x^2 \frac{1}{{A^2 }} + 2xy( - \frac{1}{{AB}}\cos (\phi )) + y^2 \frac{1}{{B^2 }} + ( - \sin ^2 (\phi )) = 0
\]")
можно найти из следующего уравнения:
![\[
ctg(2\theta ) = \frac{{a_{11} - a_{22} }}{{2a_{12} }} = \frac{{\frac{1}{{A^2 }} - \frac{1}{{B^2 }}}}{{2( - \frac{1}{{AB}}\cos (\phi ))}} = \frac{{A^2 - B^2 }}{{2AB\cos (\phi )}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1af178f249e679261bd9fcb0a1094a4082.png "\[
ctg(2\theta ) = \frac{{a_{11} - a_{22} }}{{2a_{12} }} = \frac{{\frac{1}{{A^2 }} - \frac{1}{{B^2 }}}}{{2( - \frac{1}{{AB}}\cos (\phi ))}} = \frac{{A^2 - B^2 }}{{2AB\cos (\phi )}}
\]")
