Ряды

[d-man54]

чему равна сумма ряда $\sum n(-x)^n, n \ge 1$, если сумма ряда $\sum (-x)^n, n \ge 0$ равна $\frac{1}{1+x}$. Везде $|x|<1$.

[profrotter]

Дифференцировать к чёртовой матери! Почленно! Где ваши попытки решения?

[d-man54]

$-\sum n^2(-x)^{n-1}=-1+4x-3x^2+16x^3...$

[ИСН]

"Дурак твой геолог: опять к морю пришли!"

[Ms-dos4]

Здесь есть простой приём
Дан ряд $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{( - 1)}^k}k{x^k}} \]$
Заметим, что $\[k{x^k} = x \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}[{x^k}]\]$
Тогда
$\[\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{( - 1)}^k}k{x^k}} = x\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{( - 1)}^k}\frac{\partial }{{\partial x}}[{x^k}]} = x\frac{\partial }{{\partial x}}\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{( - 1)}^k}{x^k}} = \\ = x \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}[ - \frac{x}{{1 + x}}] = - \frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}} \end{array}\]$

[ИСН]

(Оффтоп)

Ms-dos4, это всё не нужно писать, потому что ключевое слово уже сказал profrotter. Но чтобы им воспользоваться, надо знать другой приём, действительно простой, а вот это-то самое трудное!

[profrotter]

Ms-dos4, мне кажется, что первый ряд следует сначала исследовать на сходимость, чтобы можно было его так просто взять и продифференцировать почленно. А вот у второго уже есть сумма. Или я что-то неправ?

[Deggial]

Ms-dos4, предупреждение за почти полное решение простой учебной задачи. Решать простые учебные задачи на форуме запрещено правилами:

правила форума писал(а):

1) Нарушением считается: г) ... публикация полных готовых решений учебных задач ...

[Ms-dos4]

profrotter в сообщении #740974 писал(а):

Ms-dos4, мне кажется, что первый ряд следует сначала исследовать на сходимость, чтобы можно было его так просто взять и продифференцировать почленно. А вот у второго уже есть сумма. Или я что-то неправ?

Мы меняем местами суммирование и дифференцирование уже во втором ряду, который, очевидно, при $\[\left| x \right| < 1\]$ сходится. А

[profrotter]

Ms-dos4 в сообщении #740963 писал(а):

Дан ряд $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{( - 1)}^k}k{x^k}} \]$

Простите, не мы, а я. Вы же безцеремонно начинаете почленные манипуляции с рядом, о сходимости которого ничего не сказали. Результат получается верный, но ход мыслей опасный.

[bot]

profrotter оставьте Ваши придирки, интервал сходимости указан в стартовом сообщении

d-man54 в сообщении #740928 писал(а):

Везде $|x|<1$.

При дифференцировании и интегрировании степенного ряда он не меняется.

[profrotter]

bot в сообщении #741059 писал(а):

profrotter оставьте Ваши придирки, интервал сходимости указан в стартовом сообщении

Ну да-да... Сказано же в задании "чему равна сумма ряда" - значит она существует. Я на своих придирках не настаиваю. Вам виднее что правильно, а что нет.