2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряды
Сообщение27.06.2013, 06:55 
чему равна сумма ряда $\sum n(-x)^n, n \ge 1$, если сумма ряда $\sum (-x)^n, n \ge 0$ равна $\frac{1}{1+x}$. Везде $|x|<1$.

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 07:56 
Аватара пользователя
Дифференцировать к чёртовой матери! Почленно! Где ваши попытки решения?

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 10:16 
$-\sum n^2(-x)^{n-1}=-1+4x-3x^2+16x^3...$

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 10:20 
Аватара пользователя
"Дурак твой геолог: опять к морю пришли!"

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 10:25 
Здесь есть простой приём
Дан ряд $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^k}k{x^k}} \]$
Заметим, что $\[k{x^k} = x \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}[{x^k}]\]$
Тогда
$\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^k}k{x^k}}  = x\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^k}\frac{\partial }{{\partial x}}[{x^k}]}  = x\frac{\partial }{{\partial x}}\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^k}{x^k}}  = \\
 = x \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}[ - \frac{x}{{1 + x}}] =  - \frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}
\end{array}\]$

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 10:29 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Ms-dos4, это всё не нужно писать, потому что ключевое слово уже сказал profrotter. Но чтобы им воспользоваться, надо знать другой приём, действительно простой, а вот это-то самое трудное!

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 10:56 
Аватара пользователя
Ms-dos4, мне кажется, что первый ряд следует сначала исследовать на сходимость, чтобы можно было его так просто взять и продифференцировать почленно. А вот у второго уже есть сумма. Или я что-то неправ?

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 11:03 
Аватара пользователя
 !  Ms-dos4, предупреждение за почти полное решение простой учебной задачи. Решать простые учебные задачи на форуме запрещено правилами:
1) Нарушением считается: г) ... публикация полных готовых решений учебных задач ...

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 12:39 
profrotter в сообщении #740974 писал(а):
Ms-dos4, мне кажется, что первый ряд следует сначала исследовать на сходимость, чтобы можно было его так просто взять и продифференцировать почленно. А вот у второго уже есть сумма. Или я что-то неправ?

Мы меняем местами суммирование и дифференцирование уже во втором ряду, который, очевидно, при $\[\left| x \right| < 1\]$ сходится. А

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 15:53 
Аватара пользователя
Ms-dos4 в сообщении #740963 писал(а):
Дан ряд $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^k}k{x^k}} \]$
Простите, не мы, а я. Вы же безцеремонно начинаете почленные манипуляции с рядом, о сходимости которого ничего не сказали. Результат получается верный, но ход мыслей опасный.

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 16:00 
Аватара пользователя
profrotter оставьте Ваши придирки, интервал сходимости указан в стартовом сообщении
d-man54 в сообщении #740928 писал(а):
Везде $|x|<1$.

При дифференцировании и интегрировании степенного ряда он не меняется.

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение27.06.2013, 18:47 
Аватара пользователя
bot в сообщении #741059 писал(а):
profrotter оставьте Ваши придирки, интервал сходимости указан в стартовом сообщении
Ну да-да... Сказано же в задании "чему равна сумма ряда" - значит она существует. Я на своих придирках не настаиваю. Вам виднее что правильно, а что нет.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group