2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения (высокие степени)
Сообщение01.08.2007, 03:58 


19/12/06
164
Россия, Москва
Как можно "упростить" следующие уравнения

$(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)^2+6x^4=0

$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}=\frac{81}{11}$

$x^4=\frac{11x-6}{6x-11}$

нет идей как к ним подойти :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 06:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Когда я был маленьким [(с) Brukvalub ], то первое уравнение решал бы так:

$p^4-6x^2p^2+9x^4=3x^4$, где $p=x^2-x+1$

Отсюда:

$(p^2-3x^2)^2=(\sqrt3x^2)^2$

$p^2-3x^2=\pm\sqrt3x^2$

$p^2=(3\pm\sqrt3)x^2$

$x^2-x+1=\sqrt{3\pm\sqrt3}|x|$.

Далее, понятно, надо рассмотреть 4 варианта квадратных уравнений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 07:40 


19/12/06
164
Россия, Москва
bot
А что за умные книжки вы читали вместе с Brukvalub, когда были маленькими? )))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
KiberMath писал(а):
$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}=\frac{81}{11}$


Обратите внимение: если числитель и знаменатель разделить на $x^5$ и заменить $1/x \to y$, то мы получим тоже самое выражение (но уже относительно $y$. Это означает, что вместе с каждым корнем $x$ $1/x$ — тоже корень. .Т.е., уравнение должено раскладываться на множители вида $(x-a)(1/x-a) = 1+a^2-a(x+1/x)$, что несколько упрощает жизнь. [-1 не является корнем, поскольку не принадлежит области определения. Значит, $x+1$ можно сократить. Заменив же $x+1/x \to z$ мы получим квадратное уравнение (чему равен $z^2$?).]

Последнее уравнение: та же самая симметрия, и приводим к тому же самому преобразованию. Правда, уравнение получается похитрее. И $1$, $-1$ отбрасывать нельзя (они, на этот раз, в области определения).

Пара часто используемых правил:
$a^{p q}-b^{p q}}$ делится $a^p - b^p$
$a^{2n + 1} + b^{2n+1}$ делится на $a + b$.

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

KiberMath писал(а):
А что за умные книжки вы читали вместе с Brukvalub, когда были маленькими? )))

Учили их. Уж не в школе ли интернате при НГУ, уж забыл какой номер (165?).

В программу физико-математической школы такие уравнения входят.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 09:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
незваный гость писал(а):
Учили их. Уж не в школе ли интернате при НГУ, уж забыл какой номер (165?).


В ней, родимой - №165. Только собрав нас, доктора да академики ещё сами не знали, чем нас занять, а школьную математику и сами уж давно забыли, так что сразу сказали - чего в школе не успели, сами за недельку разберётесь, и погнали по программе мехмата, физфака, ФЕНа (химия и биология), да ещё и Гумфака впридачу. Согласования никакого - на математике ещё пределы изучаем, а на физике, показав на пальцах, что это такое, поверхностные интегралы пользуют. :D
А начинал, наверно как большинство - с Перельмана (Якова Исидоровича), на каникулах после второго класса обнаружил Живую математику, зачитанную до дыр старшим братом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 10:01 


19/12/06
164
Россия, Москва
Цитата:
Учили их. Уж не в школе ли интернате при НГУ, уж забыл какой номер (165?).


Мдаа ... а мне в школе лапшу на уши вешали :evil: ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 10:50 


29/09/06
4552
KiberMath писал(а):
Мдаа ... а мне в школе лапшу на уши вешали...


Позволю себе предположить, что это могло быть и не так: просто Вы, когда были маленьким, не считали то, что Вам вешают на уши, ценным, а считали это лапшой. Теперь что-то Вас заставило этим заняться... Недавно довелось посмотреть этот сюжет (неквадратные уравнения, сводимые к квадрантым) в школьном учебнике. Вроде нормально расписано, примеры есть и задачки. Бывают задачки и похитрее --- наверное, в других задачниках (мне современный арсенал почти неизвестен, я был маленьким очень давно, хватал все сборники олимпиадных задач).
Делайте так как делаете --- решайте побольше, запоминайте трюки. Выбирайте задачки не случайно, а пройдитесь по учебнику, пропуская лишь то, что уверенно можете сделать. Учебник поддался --- можно и куда-то на сторону заглянуть (слово Сканави часто слышал, но ни разу не держал в руках; может, это оно и есть, то самое "на сторону").
Успехов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 11:10 
Аватара пользователя


01/08/07
57
Первое уравнение можно решить иначе, если ввести замену
$a=(x^2-x+1)^2$ и $b=x^2$ Получится уравнение вида $a^2-6ab+6b^2=0$, которое решается как квадратное относительно одной из переменной, далее возвращаемся к переменной $х$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Вы не замечаете, что это одно и то же?

Контрольные вопросы:
1) Откуда взялась формула корней квадратного уравнения?
2) Как решается уравнение $(x-1)^2=4$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 11:26 
Аватара пользователя


01/08/07
57
Последнее уравнение: приводим к общему знаменателю, не забывая про область определения. Получаем уравнение: $6x^5-11x^4-11x+6=0$. Ясно, что корнем этого уравнения является -1. После деления на $x+1$ уравнение принимает вид: $(x+1)(6x^4-17x^3+17x^2-17x+6)=0$. Остается решить уравнение $6x^4-17x^3+17x^2-17x+6=0$. Это уравнение относится к так называемым возвратным или симметрическим. Метод его решения: разделим обе части на $x^2$, сгруппируем первое и последнее слагаемое и второе с четвертым: $6(x^2+1/x^2)-17(x+1/x)+17=0$
Вводим замену $y=x+1/x$, $x^2+1/x^2 = y^2-2$. Далее понятно - решаем относительно $y$ и возвращаемся к исходной переменной

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

bot
Да, это одно и то же, но если при первом способе надо еще раскрыть скобки и сообразить, что перенести в правую часть (ладно, это понятно, выделение полного квадрата), то второй подход этого не требует

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group