Уравнения (высокие степени)

[KiberMath]

Как можно "упростить" следующие уравнения

$(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)^2+6x^4=0

$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}=\frac{81}{11}$

$x^4=\frac{11x-6}{6x-11}$

нет идей как к ним подойти

[bot]

Когда я был маленьким [(с) Brukvalub ], то первое уравнение решал бы так:

$p^4-6x^2p^2+9x^4=3x^4$, где $p=x^2-x+1$

Отсюда:

$(p^2-3x^2)^2=(\sqrt3x^2)^2$

$p^2-3x^2=\pm\sqrt3x^2$

$p^2=(3\pm\sqrt3)x^2$

$x^2-x+1=\sqrt{3\pm\sqrt3}|x|$.

Далее, понятно, надо рассмотреть 4 варианта квадратных уравнений.

[KiberMath]

bot
А что за умные книжки вы читали вместе с Brukvalub, когда были маленькими? )))

[незваный гость]

KiberMath писал(а):

$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}=\frac{81}{11}$

Обратите внимение: если числитель и знаменатель разделить на $x^5$ и заменить $1/x \to y$, то мы получим тоже самое выражение (но уже относительно $y$. Это означает, что вместе с каждым корнем $x$ $1/x$ — тоже корень. .Т.е., уравнение должено раскладываться на множители вида $(x-a)(1/x-a) = 1+a^2-a(x+1/x)$, что несколько упрощает жизнь. [-1 не является корнем, поскольку не принадлежит области определения. Значит, $x+1$ можно сократить. Заменив же $x+1/x \to z$ мы получим квадратное уравнение (чему равен $z^2$?).]

Последнее уравнение: та же самая симметрия, и приводим к тому же самому преобразованию. Правда, уравнение получается похитрее. И $1$, $-1$ отбрасывать нельзя (они, на этот раз, в области определения).

Пара часто используемых правил:
$a^{p q}-b^{p q}}$ делится $a^p - b^p$
$a^{2n + 1} + b^{2n+1}$ делится на $a + b$.

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

KiberMath писал(а):

А что за умные книжки вы читали вместе с Brukvalub, когда были маленькими? )))

Учили их. Уж не в школе ли интернате при НГУ, уж забыл какой номер (165?).

В программу физико-математической школы такие уравнения входят.

[bot]

незваный гость писал(а):

Учили их. Уж не в школе ли интернате при НГУ, уж забыл какой номер (165?).

В ней, родимой - №165. Только собрав нас, доктора да академики ещё сами не знали, чем нас занять, а школьную математику и сами уж давно забыли, так что сразу сказали - чего в школе не успели, сами за недельку разберётесь, и погнали по программе мехмата, физфака, ФЕНа (химия и биология), да ещё и Гумфака впридачу. Согласования никакого - на математике ещё пределы изучаем, а на физике, показав на пальцах, что это такое, поверхностные интегралы пользуют.
А начинал, наверно как большинство - с Перельмана (Якова Исидоровича), на каникулах после второго класса обнаружил Живую математику, зачитанную до дыр старшим братом.

[KiberMath]

Цитата:

Учили их. Уж не в школе ли интернате при НГУ, уж забыл какой номер (165?).

Мдаа ... а мне в школе лапшу на уши вешали ...

[Алексей К.]

KiberMath писал(а):

Мдаа ... а мне в школе лапшу на уши вешали...

Позволю себе предположить, что это могло быть и не так: просто Вы, когда были маленьким, не считали то, что Вам вешают на уши, ценным, а считали это лапшой. Теперь что-то Вас заставило этим заняться... Недавно довелось посмотреть этот сюжет (неквадратные уравнения, сводимые к квадрантым) в школьном учебнике. Вроде нормально расписано, примеры есть и задачки. Бывают задачки и похитрее --- наверное, в других задачниках (мне современный арсенал почти неизвестен, я был маленьким очень давно, хватал все сборники олимпиадных задач).
Делайте так как делаете --- решайте побольше, запоминайте трюки. Выбирайте задачки не случайно, а пройдитесь по учебнику, пропуская лишь то, что уверенно можете сделать. Учебник поддался --- можно и куда-то на сторону заглянуть (слово Сканави часто слышал, но ни разу не держал в руках; может, это оно и есть, то самое "на сторону").
Успехов.

[Sensile]

Первое уравнение можно решить иначе, если ввести замену
$a=(x^2-x+1)^2$ и $b=x^2$ Получится уравнение вида $a^2-6ab+6b^2=0$, которое решается как квадратное относительно одной из переменной, далее возвращаемся к переменной $х$

[bot]

Вы не замечаете, что это одно и то же?

Контрольные вопросы:
1) Откуда взялась формула корней квадратного уравнения?
2) Как решается уравнение $(x-1)^2=4$?

[Sensile]

Последнее уравнение: приводим к общему знаменателю, не забывая про область определения. Получаем уравнение: $6x^5-11x^4-11x+6=0$. Ясно, что корнем этого уравнения является -1. После деления на $x+1$ уравнение принимает вид: $(x+1)(6x^4-17x^3+17x^2-17x+6)=0$. Остается решить уравнение $6x^4-17x^3+17x^2-17x+6=0$. Это уравнение относится к так называемым возвратным или симметрическим. Метод его решения: разделим обе части на $x^2$, сгруппируем первое и последнее слагаемое и второе с четвертым: $6(x^2+1/x^2)-17(x+1/x)+17=0$
Вводим замену $y=x+1/x$, $x^2+1/x^2 = y^2-2$. Далее понятно - решаем относительно $y$ и возвращаемся к исходной переменной

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

bot
Да, это одно и то же, но если при первом способе надо еще раскрыть скобки и сообразить, что перенести в правую часть (ладно, это понятно, выделение полного квадрата), то второй подход этого не требует