тензорный анализ

[Munin]

scwec в сообщении #740731 писал(а):

В издании 1974 г. это глава 7 стр. 168.

В разных изданиях страницы разные. Лучше указывать не страницы, а параграфы - они от издания к изданию меньше меняются. (Страницы "ползут" по чисто типографским причинам, и от мелких правок внутри параграфов.)

-- 26.06.2013 18:12:45 --

Нашёл (§ 36 задача 15). Итак:
- $i_X\omega$ называется внутренним произведением $X$ на $\omega$;
- $i_Xd+di_X=L_x$ называется формулой гомотопии;
- там же введено и понятие «оператор гомотопии» (именно так, в кавычках, то есть не как общепринятый термин), но как название для совсем другого объекта $H,$ такого что $(H\gamma)(t,x)=g^t\gamma(x),$ где $\{g^t\}$ есть фазовый поток поля $X,$ а переменная $t$ в рамках данного понятия $\in[0,1].$ Видно, что это совсем другой оператор: он сопоставляет фазовому потоку гомотопию, которую этот фазовый поток осуществляет над цепями $\gamma(x).$ Такое понятие прозрачно, и его название очевидно мотивировано. Но с $i_X$ оно не имеет почти ничего общего.

-- 26.06.2013 18:14:30 --

scwec
Приведёте другие источники цитирования? Или всё-таки констатируем, что Oleg Zubelevich занялся словотворчеством в неподходящем для этого месте без должного оформления?

[scwec]

Хочу заметить, что оператор гомотопии $H$ у Арнольда формально играет аналогичную роль в формуле $g^I{\gamma}-\gamma=\partial{(H\gamma)}+H(\partial{\gamma})$, что и оператор $i_v$ в формуле гомотопии. Поэтому, почему бы его так не назвать.
Стернберг называет его внутренним умножением, встречается название внутреннее дифференцирование, у Арнольда это внутреннее произведение. Выводы уж делайте сами.

[g______d]

scwec в сообщении #740758 писал(а):

Хочу заметить, что оператор гомотопии $H$ у Арнольда формально играет аналогичную роль в формуле $g^I{\gamma}-\gamma=\partial{(H\gamma)}+H(\partial{\gamma})$, что и оператор $i_v$ в формуле гомотопии.

Еще раз повторюсь, что операторы, играющие указанную роль, называются операторами алгебраической гомотопии. Мотивация к данному названию – это то, что если взять обычную гомотопию (хоть для цепей, хоть для коцепей, хоть для $p$-форм) и записать ее действие на соответствующем комплексе, будет оператор такого вида. И наоборот, операторы такого вида действуют на (ко)гомологии так же, как и операторы, полученные их обычной гомотопии.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

мальчонка с 21 числа успокоиться не может

[Munin]

scwec в сообщении #740758 писал(а):

Хочу заметить, что оператор гомотопии $H$ у Арнольда формально играет аналогичную роль в формуле $g^I{\gamma}-\gamma=\partial{(H\gamma)}+H(\partial{\gamma})$, что и оператор $i_v$ в формуле гомотопии.

Играет. И что?

scwec в сообщении #740758 писал(а):

Поэтому, почему бы его так не назвать.

Формально Америка играет роль Европы, так почему бы её не назвать Европой. Когда для того и для другого уже есть названия, а новое - немотивировано (по крайней мере, в контексте Арнольда), какие основания для такого переназывания?

g______d в сообщении #740766 писал(а):

Еще раз повторюсь, что операторы, играющие указанную роль, называются операторами алгебраической гомотопии. Мотивация к данному названию – это то, что если взять обычную гомотопию (хоть для цепей, хоть для коцепей, хоть для $p$-форм) и записать ее действие на соответствующем комплексе, будет оператор такого вида.

Вообще-то обычная гомотопия - это не оператор, а функция от $t.$ Каким образом вы от этого избавляетесь?

g______d в сообщении #740766 писал(а):

И наоборот, операторы такого вида действуют на (ко)гомологии так же, как и операторы, полученные их обычной гомотопии.

Но не как гомотопии сами по себе.

-- 26.06.2013 19:34:19 --

g______d
Я напоминаю, что всё, что и вы, и scwec приводите - тянет максимум на оправдание введения термина, а не на использование его как уже существующего без комментариев. Литературных ссылок на этот термин (в случае $i_v$) не привели ни вы, ни scwec.

[g______d]

Munin в сообщении #740772 писал(а):

g______d в сообщении #740766 писал(а):

Еще раз повторюсь, что операторы, играющие указанную роль, называются операторами алгебраической гомотопии. Мотивация к данному названию – это то, что если взять обычную гомотопию (хоть для цепей, хоть для коцепей, хоть для $p$-форм) и записать ее действие на соответствующем комплексе, будет оператор такого вида.

Вообще-то обычная гомотопия - это не оператор, а функция от $t.$ Каким образом вы от этого избавляетесь?

Если $f$ и $g$ – два отображения пространств, связанные гомотопией, то соответствующие им отображения на коцепях (для форм это $f^*$, $g^*$) связаны алгебраической гомотопией. Почитайте любое современное доказательство гомотопической инвариантности каких-нибудь (ко)гомологий, и станет ясно.

-- 26.06.2013, 19:40 --

Munin в сообщении #740772 писал(а):

g______d в сообщении #740766 писал(а):

И наоборот, операторы такого вида действуют на (ко)гомологии так же, как и операторы, полученные их обычной гомотопии.

Но не как гомотопии сами по себе.

См. выше. Гомотопии сами по себе действуют на основном пространстве, а нас интересуют индуцированные ими отображения на $p$-формах.

[Munin]

g______d в сообщении #740776 писал(а):

Если $f$ и $g$ – два отображения пространств, связанные гомотопией, то соответствующие им отображения на коцепях (для форм это $f^*$, $g^*$) связаны алгебраической гомотопией.

А при этом не получится, случайно, оператора $i_v d$ или $L_v,$ а не $i_v$?

[g______d]

Munin в сообщении #740785 писал(а):

А при этом не получится, случайно, оператора $i_v d$ или $L_v,$ а не $i_v$?

Нет, не получится. Оператор алгебраической гомотопии, получающийся из обычной гомотопии, устроен сложнее и включает в себя интегрирование по параметру $t$. Или Вы о чем?

-- 26.06.2013, 20:00 --

Еще раз. Изначальный смысл в том, чтобы разбить доказательство гомотопической инвариантности (ко)гомологий на 2 части:

1. Доказать, что (ко)цепные отображения, отвечающие гомотопным отображениям пространств, связаны алгебраической гомотопией.
2. Доказать, что отображения, связанные алгебраической гомотопией, одинаково действуют на (ко)гомологии.

Отображение $i_v$ – это алгебраическая гомотопия, связывающая $L_v$ и $0$, но она не пришла из обычной гомотопии.

[Deggial]

Oleg Zubelevich в сообщении #740770 писал(а):

мальчонка с 21 числа успокоиться не может

Oleg Zubelevich, предупреждение за троллинг и переход на личности.

[Munin]

g______d в сообщении #740787 писал(а):

Нет, не получится. Оператор алгебраической гомотопии, получающийся из обычной гомотопии, устроен сложнее и включает в себя интегрирование по параметру $t$.

Спасибо, ясно.

Но мы опять пришли к тому, что оператор (в вашем случае) алгебраической гомотопии тоже не является оператором $i_v.$

g______d в сообщении #740787 писал(а):

Отображение $i_v$ – это алгебраическая гомотопия, связывающая $L_v$ и $0$

Что не означает, что это гомотопия вообще, и говорить без связывающих переменные пояснений, что это гомотопия, некорректно.

[g______d]

Munin в сообщении #740817 писал(а):

Но мы опять пришли к тому, что оператор (в вашем случае) алгебраической гомотопии тоже не является оператором $i_v.$

Оператором алгебраической гомотопии между (коцепными) отображениями $f^*$ и $g^*$ называется любое отображение $K$, понижающее размерность форм на 1 и удовлетворяющее соотношению $f^*-g^*=dK+Kd$. "Мой случай" был приведен только как мотивация этого определения. Конечно, не любая алгебраическая гомотопия получается из обычной. Это в определенном смысле более общее понятие.

Munin в сообщении #740817 писал(а):

Что не означает, что это гомотопия вообще, и говорить без связывающих переменные пояснений, что это гомотопия, некорректно.

Говорить "гомотопия вообще" в данном случае вообще не очень осмысленно, поскольку мы рассматриваем отображения не пространств, а форм. Кроме того, указанное соотношение $\mathcal{L}_v=i_v d+d i_v$ общепринято называется формулой гомотопии; и гомотопия имеется в виду как раз алгебраическая.

[Munin]

g______d в сообщении #740822 писал(а):

Говорить "гомотопия вообще" в данном случае вообще не очень осмысленно, поскольку мы рассматриваем отображения не пространств, а форм.

А что это меняет, кроме приставки ко-?

g______d в сообщении #740822 писал(а):

Кроме того, указанное соотношение $\mathcal{L}_v=i_v d+d i_v$ общепринято называется формулой гомотопии; и гомотопия имеется в виду как раз алгебраическая.

Я не возражаю против названия "формула гомотопии". Я просто не понимаю, какие после этого основания называть $i_v$ оператором гомотопии.

[g______d]

Munin в сообщении #740837 писал(а):

g______d в сообщении #740822 писал(а):

Говорить "гомотопия вообще" в данном случае вообще не очень осмысленно, поскольку мы рассматриваем отображения не пространств, а форм.

А что это меняет, кроме приставки ко-?

В смысле что гомотопия между отображениями дает гомотопию между соответствующими отображениями на формах, это да. Но обычная гомотопия отображения на формах – вещь не очень осмысленна. Любые 2 формы между собой гомотопны просто с помощью линейного преобразования.

Munin в сообщении #740837 писал(а):

Я не возражаю против названия "формула гомотопии". Я просто не понимаю, какие после этого основания называть $i_v$ оператором гомотопии.

Тем, что он является оператором алгебраической гомотопии. Оператор алгебраической гомотопии – общепринятое понятие. Или Вы протестуете против отсутствия слова "алгебраическая"? Но в словосочетании "формула гомотопии" его тоже нет.

[Munin]

Руками вы меня замахали. А вот ссылки на литературу так и не последовало.

[g______d]

Munin в сообщении #740891 писал(а):

Руками вы меня замахали. А вот ссылки на литературу так и не последовало.

А ее и нет. Никто никогда не называет внутреннее произведение оператором гомотопии. Хотя он им является.